Fibrés Au Dessus D’une Variété

J.Saab École Doctorale De L’Uiniversité Libanaise jihadsaab@isae.edu.lb

Résumé Ce cours introduit d’une façon lucide et simple la notion de fibré et notemment les fibrés vectoriels. Connexions et métriques sont bien étudiées dans ce cours de façon à montrer que ces notions qui étaient abordées auparavant, représentent un cas particulier de ce que contient ce cours. Chaque notion est accompagnée d’un ou de plusieurs exemples pour aider le lecteur à bien assimiler ces notions.

1 Transport Parallèle

Soit C :]a, b[⟶ M une courbe regulière sur une variété différentielle M. On appelle champ de vecteurs le long de C une application V qui associe à tout point t ∈]a, b[ un élément V_{t} ∈ T_{C(t)}M. Si (x, U) est une carte autour d’un point de C, on peut donc écrire

V_{t} = v^{i}(t)\frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)}

On dit que V est C^{k} si les fonctions v^{i}(t) sont C^{k}. L’ensemble des champs C^{∞} le long de C est noté χ(C)

Un champ le long de C particulier est le champ vitesse C′ = \frac{dC^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)}. Dans ce qui suit on va montrer que si une connexion linéaire est donnée sur M on peut alors définir la dérivée des champs C^{∞} le long de C associée à cette connexion

Proposition 1 Soit ∇ une connexion et C une courbe lisse sur M, il

existe alors une et une seule application D_{c′} notée aussi \frac{D}{dt} ou D_{C′} :

D_{C′} : χ(M) ⟶ χ(C)

telle que :

1. Si V = Ṽ/C(t) où Ṽ ∈ χ(M) alors D_{C′}V = ∇_{C′(t)}Ṽ

2. D_{C′}(V + W) = D_{C′}V + D_{C′}W

3. D_{C′}(v^{i}(t)\frac{∂}{∂x_{i}}) = \frac{dv^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} + v^{i}(t)∇_{C′} \frac{∂}{∂x_{i}}

Preuve. Supposons qu’une telle application existe. Soit p ∈ C(t) et soit

(x, U) une carte autour de p. soit V = v^{i}(t)\frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)} ∈ χ(C). On a :

D_{C′}V =  D_{C′}v^{i}(t)\frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)}
= \frac{dv^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)} + v^{i}(t)∇_{C′} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)}

\frac{dv^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)} + v^{i}(t)\frac{dC^{j}}{dt} ∇_{\frac{∂}{∂xj}}′ \frac{∂}{∂x_{i}} |_{C(t)}

et parsuite

D_{C′}V = [\frac{dv^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} + v^{i}(t)\frac{dC^{j}}{dt} Γ_{ji}^{k}(C(t))]\frac{∂}{∂x_{k}} |_{C(t)}  (1)

Ainsi cette définition est déterminée par la connexion ce qui montre l”unicité. Pour montrer qu’une telle correspondance est bien définie, on lui donne la définition locale donnée par ( 1 )et on montre que cette définition dépend du choix de la connexion et non pas du choix des coordonnées locales.

Définition 2 Un champ V ∈ χ(C) est dit parallèle le long de C si D_{C′}V = 0

Pour bien assimiler cette définition, considérons le cas de ℝ^{n} muni de la connexion canonique Γ_{ij}^{k} = 0. Si V = (v^{1}(t), v^{2}(t), ⋯, v^{n}(t)) alors D_{C′}V = (\frac{dv^{1}}{dt} , \frac{dv^{2}}{dt} , ⋯, \frac{dv^{n}}{dt}). Dire que V est parallèle le long de C revient à dire que \frac{dv^{i}}{dt} = 0, ∀i c’est à dire v^{i}(t) = cte, ∀i ce qui justifie la terminologie :

Proposition 3 Soit M une variété différentielle munie d’une connexion ∇ et soit C une courbe lisse de M. Si V_{a} ∈ T_{C(a)}M alors il existe un et un seul champ parallèle V ∈ χ(C) qui prolonge V_{a}

Preuve. Le champ V doit vérifier le système

\frac{dv^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} + v^{i}(t)\frac{dC^{j}}{dt} Γ_{ji}^{k}(C(t)) = 0, k = 1 ⋯ n  (2)

il s’agit d’une système différentiel linéaire donc d’après le théorème de Cauchy la solution existe sur tout intervalle [a, b] et est unique pour la condition V |_{t=a} = V_{a}

Remarque 4 L’application

B_{a:} {solutions de (2)}⟶ T_{C(a)}M
V  → V_{a}

est un isomorphisme d’espaces vectoriels

Définition 5 Lapplication

\begin{aligned}P_{C}|_{a}^{t} : & T_{C(a)}M & ⟶ & T_{C(t)}M \\ & V_{a} & → & V_{t} = (B_{a}^{−1}V_{a})_{(t)} \end{aligned}

est un isomorphisme d’espaces vectoriels. V_{t} n’est autre que la valeur en t du champ parallèle le long de C qui prolonge V_{a}, on l’appelle le transport parallèle le long de C de V_{a} en C(t)

Remarque 6 La donnée d’une connexion permet de définir pour toute courbe lisse C un isomorphisme

P_{C}|_{a}^{t} : T_{C(a)}M ⟶ T_{C(t)}M

dit le transport parallèle le long de C. Ainsi si ∇ est une connexion sur M, X_{p} ∈ T_{p}M, Y ∈ χ(M) et C la courbe intégrale de X_{p} alors

∇_{X_{p}}Y = lim_{h→0} \frac{1}{h}[(P_{C}|_{0}^{h})^{−1}Y (C(h)) − Y (C(0))]

ainsi si l’on définit l’application

\begin{aligned}f : & ]0, 1[ & ⟶ & ℝ^{n} \\ & t & → & f(t) = (P_{C}|_{0}^{t})^{−1}Y (C(t)) \end{aligned}

alors ∇_{X_{p}}Y = f′(0) au sens classique de la dérivation.

Exemple 7 On considèe la courbe lisse de M = ℝ^{2}, donnée par C(t) :

\begin{cases}x & = & t \\ y & = & t \end{cases}. On munit M de la connexion ∇ de coèfficients Γ_{12}^{1} = \frac{1}{2} et les

autres coèfficients sont nuls. Un champs V = V^{1}(t)∂_{x}+V^{2}(t)∂_{y} parallèle de long de C est donné par le système différentiel :

\{ \begin{matrix}\frac{dV^{1}}{dt} + Γ_{12}^{1} \frac{dC^{1}}{dt} V^{2} & = & 0 \\ \frac{dV^{2}}{dt} & = & 0 \end{matrix}

dont la solution est V = (−\frac{1}{2}at + b)∂_{x} + a∂_{y}. Ainsi le champ parallèle le long de C et qui prolonge un vecteur V_{o} = (α, β) en o = C(0) est

V = (−\frac{1}{2}βt + α)∂_{x} + β∂_{y}

de sorte que l’application de transport parallèle entre T_{o}M et T_{C(t)}M est donnée par :

\begin{aligned}P_{C}|_{0}^{t} : & T_{o}M & ⟶ & T_{C(t)}M \\ & (α, β) & → & (−\frac{1}{2}βt + α, β) \end{aligned}

son inverse (P_{C}|_{0}^{t})^{−1} = P_{C}|_{t}^{0} est donne’e par

\begin{aligned}P_{C}|_{t}^{0} : & T_{o}M & ⟶ & T_{C(t)}M \\ & (x, y) & → & (x + \frac{1}{2}yt, y) \end{aligned}

Soit les champs X = (1 + x)∂_{x} + ∂_{y} et Y = y∂_{x} + ∂_{y}. On a bien X_{o} = C′(0) = (1, 1). Considérons l’application f(t) = P_{C}|_{t}^{0}(Y (C(t)) = P_{C}|_{t}^{0}(t, 1) = (\frac{3}{2}t, 1). On a :

f′(0) = (\frac{3}{2}, 0) = \frac{3}{2}∂_{x}

Aussi ∇_{X_{o}}Y = (∇_{X}Y)(o) = (\frac{x+3}{2})∂_{x}|_{o} = \frac{3}{2}∂_{x} = f′(0).

Définition 8 Soit M une variété différentielle munie d’une connexion ∇. Un champ X ∈ χ(M) est dit parallèle relativement à ∇ si ∇_{Y} X = 0, pour tout Y ∈ χ(M). Ainsi X est parallèle si et seulement si X est parallèle le long de toute courbe lisse C : ∇_{C′(t)}X(C(t)) = 0.

À la fin de ce paragraphe, on va se contenter de citer le théorème suivant et lui donner une interprétation géométrique :

Théorème 9 Soit U une carte de M, alors : la courbure R|_{U} = 0 si et seulement si tout vecteur V_{0} ∈ T_{x_{0}}M, x_{0} ∈ U peut être prolonger par parallèlisme sur un voisinage U′ ⊂ U de x_{0}. c’est à dire : ∀x_{0} ∈ U, ∀V_{0} ∈ T_{x_{0}}M, ∃U′ ⊂ U, x_{0} ∈ U′ et ∃ X ∈ χ(U′) parallèle sur U′ et tel que X_{x_{0}} = V_{0}

Si on voudrais donner une interprétation géométrique de ce théorème, on voit que pour tout vecteur V_{0} ∈ T_{x_{0}}M il existe un champ parallèle X tel que X(x_{0}) = V_{0}. en particuler X est parallèle le long des ses courbes intégrales en tout point. Si γ(t) est une courbe intégrale de X_{p} en un point alors le vecteur vitesse γ′(t) est parallèle et prolongeant γ′(0) ce qui fait dans la géométrie euclidienne de γ une droite. Ainsi le théorème précédent nous dit que si la courbure est nulle, il existe alors un champs dont les courbes intégrales en tout point sont des droites.

2 Variétés Riemanniennes

Définition 10 On appelle variété Riemannienne un couple (M, g) où M est une variété C^{∞} et g un tenseur \binom{0}{2} sur M tel qu’en tout point x ∈ M, g_{x} est un produit scalaire sur T_{x}M. Ainsi l’on peut voir g de deux façons :

g : M ⟶ ⊗_{2}^{0}M
x → g_{x} : T_{x}M × T_{x}M ⟶  T_{x}M
(v, w) → g_{x}(v, w) =< v, w >_{x}

où par identification

\begin{aligned}g : & χ(M) × χ(M) & ⟶ & C^{∞}(M) \\ & (X, Y) & → & < X, Y > \end{aligned}

avec < X, Y >_{x}= g_{x} < X_{x}, Y_{x} > .

Lemme 11 (fondamental de la géométrie Riemannienne) Sur toute variété Riemannienne (M, g) il existe une et une seule connexion linéaire ∇ telle que

\begin{cases}∇g & = & 0 \\ T & = & 0 \end{cases}

où T est la torsion de ∇. Preuve. on va donner une démonstration succincte de ce lemme, la première condition se traduit par

X < Y, Z >=< ∇_{X}Y, Z > + < Y, ∇_{X}Z >

et la deuxième condition ∇_{X}Y -∇_{Y} X = [X, Y] pour tous X, Y et Z ∈ χ(M). On peut facilement vérifier qu’une connexion vérifiant ces conditions doit être donnée par la relation suivante

\begin{aligned}2 < ∇_{X}Y, Z > & = & X < Y, Z > +Y < Z, X > −Z < X, Y > + \\ & & < [X, Y], Z > − < [X, Z], Y > − < Y, Z], X > \end{aligned} (3)

Si on définit ∇ par la relation (3) on voit que ∇ est une connexion qui vérifie les conditions du lemme. Aussi, comme g est non dégénérée c’est à dire ker g = {0} alors ∇ est unique.

Remarque 12 Grâce à la relation (3) on peut tirer les coèfficients de christoffel de ∇. On va noter par g_{ij} =< ∂x_{i}, ∂x_{j} > et (g^{ij}) est la matrice inverse de (g_{ij}). On trouve

Γ_{ij}^{l} = \frac{1}{2}[∂_{x_{i}}(g_{jk}) + ∂_{x_{j}}(g_{ik}) − ∂_{x_{k}}(g_{ij})][g^{lk}]  (4)

2.1 Interprétation géométrique :

Définition 13 Une connexion ∇ sur une variété Riemannienne (M, g) est dite compatible avec la metrique g si le transport parallèle, le long de toute courve lisse C, conserve le produit scalaire c’est à dire l’application P_{C}|_{a}^{t} : T_{C(a)}M ⟶ T_{C(t)}M vérifie :

< V_{a}, W_{a} >=< P_{C}|_{a}^{t}(V_{a}), P_{C}|_{a}^{t}(W_{a}) >

ou encore d’une façon équivalente si V et W sont deux champs parallèles le long de C alors \frac{d}{dt} < V, W >= 0.

Lemme 14 Une connexion ∇ est compatible avec g si et seulement si pour toute courbe lisse C de M et pour tous champs V, W ∈ χ(C) on a

\frac{d}{dt} < V, W >=< \frac{D}{dt}V, W > + < V, \frac{D}{dt}W >

où D est la dérivée le long de C associée à ∇

Preuve. Supposons que ∇ est compatible avec g, soient P_{1}, P_{2}, ⋯, P_{n} n-champs parallèles le long de C et orthonormés en C(0). Puisque ∇ est compatible avec g alors ces champs sont orthonormés en tout point de C. On a

\begin{cases}V & = & v^{i}(t)P_{i} \\ W & = & w^{j}(t)P_{j} \end{cases}

donc < V, W >= v^{i}w^{i}. D’autre part \frac{D}{dt}V = \frac{D}{dt}(v^{i}(t)P_{i}) = \frac{d}{dt}v^{i}(t)P_{i} + v^{i}(t)∇_{C′(t)}P_{i}. D’où

\frac{D}{dt}V = \frac{d}{dt}v^{i}(t)P_{i}

car P_{i} est parallèle. De même, on a \frac{D}{dt}W = \frac{d}{dt}w^{j}(t)P_{j}. Il en vient que

\begin{cases}< \frac{D}{dt}V, W > & = & \frac{d}{dt}(v_{i}).w_{i} \\ < V, \frac{D}{dt}W > & = & \frac{d}{dt}(w_{i}).v_{i} \end{cases}

Finalement

\frac{d}{dt} < V, W >= \frac{d}{dt}(v_{i}w_{i}) =< \frac{D}{dt}V, W > + < V, \frac{D}{dt}W >

Réciproquement, si on a \frac{d}{dt} < V, W >=< \frac{D}{dt}V, W > + < V, \frac{D}{dt}W > alors pour tous champs parallèles V et W le long de C on a \frac{D}{dt}V = \frac{D}{dt}W = 0 et donc \frac{d}{dt} < V, W > parsuite ∇ est compatible avec g

Corollaire 15 Une connexion ∇ sur (M, g) est compatible avec g si et seulement si ∇g = 0 et par conséquent la connexion associée à la métrique g est une connexion compatible avec g

en effet, pour donner une idée de la démonstration on va montrer dans un sens que la compatibilité implique que ∇g = 0. Pour cela, montrons que ∇g|_{p} = 0 pour tout p ∈ M. Soient X, Y , Z ∈ χ(M) et soit C la courbe intégrale de X_{p}. On a

X_{p} < Y, Z > = C′(0) < Y, Z >
= C_{∗}|_{0}[\frac{d}{dt} < Y, Z >]
= \frac{d}{dt} < Y |_{C}, Z|_{C} >
= < \frac{D}{dt}Y, Z > + < Y, \frac{D}{dt}Z >
= < D_{C′}Y, Z > |_{t=0}+ < Y, D_{C′}Z > |_{t=0}

parsuite ∇g = 0.

2.2 Géodésiques d’une variété Riemannienne

Dans tout ce paragraphe (M, g), désigne une variété Riemannienne et ∇ est la connexion associée à sa métrique g

Définition 16 Une courbe lisse γ : [a, b] ⟶ M est dite géodésique si le vecteur vitesse γ′ est parallèle le long de γ c’est à dire ∇_{γ}′γ′ = 0

Cette définition indique une ressemblance entre les géodésiques d’une variété Riemannienne et les droites dans un espace Euclidien. En développant ∇_{γ}′γ′ = 0 on trouve dans un système de coordonnées locales que les géodésiques de ∇ sont les solutions du système différentiel suivant :

\frac{d^{2}}{dt^{2}} x^{k} + Γ_{ij}^{k}(x(t))\frac{d}{dt}x^{i} \frac{d}{dt}x^{j} = 0, k = 1 ⋯ n  (5)

Exemple 17 Dans ℝ^{n} muni de la métrique canonique g = dx^{i} ⊗ dx^{i} la connexion associée est la connexion canonique Γ_{ij}^{k} = 0 et donc le système (5) est

\frac{d^{2}}{dt^{2}} x^{k} = 0

dont la solution est x^{k} = a_{k}t + b_{k}, k = 1 ⋯ n, a_{k}, b_{k} ∈ ℝ ainsi les géodésiques sont les droites.

Exemple 18 Géodésiques sur la sphère S^{2} : Considérons l’injection

f : S^{2} ⟶ ℝ^{3}
(θ, ϕ) → (x = cos θ sin ϕ, y = sin θ sin ϕ, z = cos ϕ)

la métrique canonique de ℝ^{3}, g_{0} = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz induit une métrique sur la sphère donnée par h = f^{∗}g_{0}. c’est à dire :

h(∂_{x_{i}}, ∂_{x_{j}}) = g_{0}(f_{∗}∂_{x_{i}}, f_{∗}∂_{x_{j}})

où x_{i} ∈ {θ, ϕ}. On trouve alors

h = sin^{2} ϕdθ ⊗ dθ + dϕ ⊗ dϕ

et la connexion associée à h est

Γ_{11}^{2} = − sin ϕ cos ϕ
Γ_{12}^{1} = Γ_{21}^{1} = cot anϕ
Γ_{ij}^{k} = 0 sinon

soit γ(t) = (θ(t), ϕ(t)) une géodésique de S^{2}. Il en vient que :

\{ \begin{matrix}\frac{d^{2}}{dt^{2}} θ + 2 cot anϕ\frac{d}{dt}θ\frac{d}{dt}ϕ & = & 0 \\ \frac{d^{2}}{dt^{2}} ϕ − sin ϕ cos ϕ(\frac{d}{dt}θ)^{2} & = & 0 \end{matrix}  (6)

Considérons deux cas, d’abord si θ = cte alors le système devient \frac{d^{2}}{dt^{2}} ϕ = 0 et donc ϕ = at + b c’est à dire ϕ est quelconque, ainsi (θ_{0}, ϕ) est une géodésique ∀θ_{0.} Ce sont donc les les grands cercles verticaux passant par les pôles. Dans le cas où θ = θ(t) ≠ cte on a ϕ = ϕ(θ) et donc \frac{dϕ}{dt} = \frac{dϕ}{dθ} \frac{dθ}{dt}. Aussi, on a

\frac{d^{2}ϕ}{dt^{2}} = \frac{d}{dt}(\frac{dϕ}{dθ} \frac{dθ}{dt})
= \frac{d}{dt}(\frac{dϕ}{dθ})\frac{dθ}{dt} + \frac{dϕ}{dθ} \frac{d^{2}θ}{dt^{2}}
= \frac{d^{2}ϕ}{dθ^{2}}(\frac{dθ}{dt})^{2} + \frac{dϕ}{dθ} \frac{d^{2}θ}{dt^{2}}

D’après (6) on a

\frac{d^{2}ϕ}{dθ^{2}}(\frac{dθ}{dt})^{2} + \frac{dϕ}{dθ}(−2 cot ϕ\frac{dθ}{dt} \frac{dϕ}{dθ} \frac{dθ}{dt}) − sin ϕ cos ϕ(\frac{dθ}{dt})^{2} = 0

comme \frac{dθ}{dt} ≠ 0 alors

\frac{d^{2}ϕ}{dθ^{2}} − 2 cot ϕ(\frac{dϕ}{dθ})^{2} − sin ϕ cos ϕ = 0  (7)

Soit ω = cot anϕ. On a \frac{dω}{dθ} = −\frac{1}{sin^{2} ϕ} \frac{dϕ}{dθ} et donc

\frac{d^{2}ω}{dθ^{2}} =  −\frac{d}{dθ}[\frac{1}{sin^{2} ϕ} \frac{dϕ}{dθ}]
= \frac{2ϕ′(θ) sin ϕ cos ϕ}{sin ϕ^{4}}.ϕ′(θ) − \frac{1}{sin^{2} ϕ}ϕ′′(θ)
=^{(7)}  − cot ϕ
ω′′(θ) =  −ω

dont la solution est

ω = c_{1} cos θ + c_{2} sin θ

cest à dire

cot ϕ = c_{1} cos θ + c_{2} sin θ

ce qui représente en coordonnées sphe’riques l”équation des plans passant par l”origine z = c_{1}x+c_{2}y et par conséquent les géodésiques de la sphère sont les grands cercles unitaires de centre o(0, 0, 0) de la sphère.

Remarque 19 La géométrie de la sphère est un modèl de la géométrie non-Euclidienne où les cercles remplacent les droites. Comme chaque deux grands cercles se rencontrent en deux points (les pôles), alors la géométrie de la sphère contrédit le postulat de parallélisme en géométrie Euclidienne. En utilisant la projection stéréographique, deux grands cercles de la sphères sont deux droites parallèles du plan projectif qui se rencontrent en l”infini. En plus, l’axion dincidence en géométrie Euclidienne qui assure que par deux points on ne peut mener qu’une seule droite cesse d’être valide en géométrie de la sphère où il y a infinité des grands cercles qui passent par deux points.

3 Courbure

Soit M une variété différentielle, on considère X, Y et Z dans χ(M).On suppose que X et Y commutent, c’est à dire [X, Y] = 0. On va noter par ϕ^{t} le flot local engendré par X et par ψ^{t} celui qui est engendré par Y. On va construire un "parallélogramme" de la façon suivante : On part d’un point p = ϕ^{0}(p) on suit la courbe ϕ^{t}(p) entre t = 0 et t = h > 0 pour un certain h suffisamment petit. Soit q = ϕ^{h}(p), on suit ensuite la courbe ψ^{t}(q) entre t = 0 et t = k > 0 pour un certain k suffisamment petit et tel que ψ^{0}(q) = q. On va revenir maintenant à partir du point r = ψ^{k}(q) selon la courbe ϕ^{−t}(r), avec r = ϕ^{0}(r), 0 ≤ t ≤ h. Noter que ϕ^{−t}(r) est une courbe parallèle à ϕ^{t}(p). On note maintenat s = ϕ^{−h}(r) et on va suivre la courbe ψ^{−t}(s) entre 0 ≤ t ≤ k. comme les deux champs commutent alors p se coincide avec ψ^{−k}(s), obtenant ainsi un "parallélogramme". Maintenant, on va transporter parallelement le champ Z le long de ce contour selon deux cotés consécutifs.

Soit l’application

\begin{aligned}s : & [0, h] × [0, k] & ⟶ & M \\ & (x, y) & → & s(x, y) = ψ^{y} ∘ ϕ^{x}(p) \end{aligned}

l’image de s est le parallélogramme "S " décrit ci-dessus. Soit Z(x, y) la restriction de Z sur S. On va d’abord trasporter Z(h, k) de r à q le long de ψ^{t}(q), on obtient le vecteur T = P_{q,r}Z(h, k), ensuite on transporte T de q à p le long de ϕ^{t}(p), on obtient le vecteur L = P_{p,q}T = P_{p,q}P_{q,r}Z(h, k). Si l’on transporte le vecteur Z(h, k) de r à p le long de deux autres cotés, on va d’abord obtenir P_{p,s}P_{s,r}Z(h, k). Les deux vecteurs de T_{p}M sont en général différents. On définit la courbure en p par

lim_{h,k→0} \frac{P_{p,q}P_{q,r}Z(h, k) − P_{p,s}P_{s,r}Z(h, k)}{hk}

On rappelle que si (C) est une courbe intégrale d’un vecteur X_{p} et si Y ∈ χ(M) alors

∇_{X_{p}Y} = lim_{h→0} \frac{(P_{0}^{h})^{−1}Y_{C(h)} − Y_{C(0)}}{h}

Une simple vérification montre que

lim_{h,k→0} \frac{1}{hk} [P_{p,q}P_{q,r}Z(h, k)−P_{p,q}Z(h, 0)−P_{p,s}Z(0, k)+Z(0, 0)] = ∇_{X}∇_{Y} Z(0, 0)

(8)

En utilisant l’égalité

\frac{D_{c}V}{dt} = lim_{t→t_{0}} \frac{P_{c(t_{0}),c(t)}V_{c(t)} − V_{c(t_{0})}}{t − t_{0}}

où D_{c} est la dérivée covariante le long d’une courbe c(t), on développe la partie à gauche de l’équation (8) :

lim_{h→0} \frac{1}{h}[P_{p,q}(lim_{k→0} \frac{P_{q,r}Z(h, k) − Z(h, 0)}{k}) − lim_{k→0} \frac{P_{p,s}Z(0, k) − Z(0, 0)}{k}]

= lim_{h→0}[P_{p,q}∇_{Y} Z(h, 0) − ∇_{Y} Z(0, 0)] = ∇_{X}∇_{Y} Z(0, 0)

Noter que p = s(0, 0), q = s(h, 0), r = s(h, k), s = s(0, k). Finalement :

lim_{h,k→0} \frac{1}{hk} [P_{p,q}P_{q,r}Z(h, k)−P_{p,q}Z(h, 0)−P_{p,s}Z(0, k)+Z(0, 0)] = ∇_{X}∇_{Y} Z(0, 0)

de la même façon

lim_{h,k→0} \frac{1}{hk} [P_{p,s}P_{s,r}Z(h, k)−P_{p,q}Z(h, 0)−P_{p,s}Z(0, k)+Z(0, 0)] = ∇_{Y} ∇_{X}Z(0, 0)

finalement la courbure telle que l’a été définie est

(R(X, Y)Z)_{p} = ∇_{X}∇_{Y} Z(0, 0) − ∇_{Y} ∇_{X}Z(0, 0)

et si om remplace k et h par \sqrt{h} on obtient

R(X, Y)Z(0, 0)\begin{matrix}= & lim_{h→0} \frac{(P_{p,q}P_{q,r}−P_{p,s}P_{s,r})Z}{h} \\ = & (∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z)(0, 0) \end{matrix}

lorsque X et Y ne commuttent pas, la courbe ne va pas se refermer

les points p et p′ sont joints par le flot de [X, Y] et lorsqu’on prend le transport parallèl de Z le long du contour, il faut ajouter la quantité

lim_{h→0} → \frac{P_{p,p′}Z − Z}{h} = ∇_{[X,Y]}Z(0, 0)

et donc R(X, Y)Z = ∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z

Définition 20 La courbure R associée à une connexion ∇ sur une variété M est un champ de tenseurs de type (1, 3) définit par :

R(X, Y)Z = ∇_{X}∇_{y}Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z,

Il n’est pas difficile de vérifier les propriétés suivantes :

1. R est antisymétrique par rapport à ses deux premières composantes : R(X, Y)Z = − R(X, Y)Z.

2. R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 (Identité de Bianchi).

L’écriture locale de R est

R(∂x_{i}, ∂x_{j})∂x_{k} = R_{ijk}^{l}∂x_{l}

avec

R_{ijk}^{l} = ∑_{h=1}^{m}(Γ_{jk}^{h}Γ_{ih}^{l} − Γ_{ik}^{h}Γ_{jh}^{l}) + \frac{∂Γ_{jk}^{l}}{∂x_{i}} − \frac{∂Γ_{ik}^{l}}{∂x_{j}}

On va supposer maintenant que la connexion est Riemannienne sur une variété Riemannienne (M, g), R_{ijk}^{l} est la composante de R(∂x_{i}, ∂x_{j})∂x_{k} dans la direction de ∂x_{l}. Noter que \{\frac{∂}{∂x_{l}} \}_{1≤l≤m} n’est pas nécessairement une base orthonormée et donc R_{ijk}^{l} n’est pas la projection orthogonale de R(∂x_{i}, ∂x_{j})∂x_{k} dans la direction de ∂x_{l}.

On rappelle que si u et v sont deux vecteurs d’un espace Euclidien, leur produit scalaire est donné par :

\begin{aligned}< u, v > & = & ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ \\ & = & ∥ u ∥| proj_{u}^{v} |, \end{aligned}

où θ est l’angle { \atop (u, v)} alors

| proj_{u}^{v} |= \frac{< u, v >}{∥ u ∥}.

Définition 21 La courbure de Riemann sur une variété Riemannienne (M, g) est le champ de tenseurs de type (0, 4) définit par :

pour tous X, Y, Z, T ∈ χ(M)

R(X, Y, Z, T) = g( R(X, Y)Z, T) = ⟨R(X, Y)Z, T ⟩.

On voit donc que cette courbure mesure la projection orthogonale de R(X, Y)Z |_{x} sur T_{x} pour tout x ∈ M.

On va noter par g_{αβ} = g(\frac{∂}{∂x_{α}} , \frac{∂}{∂x_{β}}) les composantes locales de g et on note par R_{ijkl} = ⟨R(\frac{∂}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{j}})\frac{∂}{∂x_{k}} , \frac{∂}{∂x_{l}} ⟩. Alors on a

R_{ijkl} = R_{ijk}^{h}g_{hl}.

et parsuite

P roj_{\frac{∂}{∂x_{l}}} (R(\frac{∂}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{j}})\frac{∂}{∂x_{k}}) = \frac{R_{ijkl}}{∥ \frac{∂}{∂x_{l}} ∥} = \frac{R_{ijkl}}{\sqrt{g_{ll}}} .

On peut facilement vérifier les propriétés suivantes :

1. g( R(X, Y)Z, T) = −g( R(Y, X)Z, T) et donc R_{ijkl} = −R_{jikl}

2. g( R(X, Y)Z, T) = −g( R(X, Y)T, Z) et donc R_{ijkl} = −R_{ijlk} 3. g( R(X, Y)Z, T) = g( R(Z, T)X, Y) c’est à dire R_{ijkl} = R_{klij} 4. Identité de Bianchi : R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl} = 0.

3.1 Interprétation géométrique sur les surfaces :

Afin de bien comprendre la courbure, on va montrer la proposition suivante :

Proposition 22 Si (S) est une surface plongée dans une variété Riemannienne (M, g), ( (S) est une sous-variété de dimension 2 de M ), pour tout champ V ∈ χ(M), la courbure mesure la non commutativité de la dérivée covariente seconde :

\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s}V − \frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t}V = R(\frac{∂f}{∂t} , \frac{∂f}{∂s})V

où

\begin{aligned}f & : & U & ⟶ & M \\ & & (t, s) & ⟶ & f(t, s) \end{aligned}

est une paramétrisation de (S) dans M, et U est un ouvert de ℝ^{2}.

Preuve. On considère les courbes des coordonnées de (S)

\begin{matrix}t & ⟶ & f(t, s) \\ et \\ s & ⟶ & f(t, s) \end{matrix}

Soit x_{i} = (x_{1}, ..., x_{m}) un système de coordonnées locales au voisinage de p = f(t_{0}, s_{0}) et V (t, s) = v^{i}(t, s)\frac{∂}{∂x_{i}} un champ de vecteurs sur (S) au voisinage de p.

\begin{aligned}\frac{D}{∂s}V & = & \frac{D}{∂s}v^{i}(t, s)\frac{∂}{∂x_{i}} \\ & = & \frac{∂v^{i}(t,s)}{∂s} \frac{∂}{∂x_{i}} + v^{i}(t, s)\frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}}), \end{aligned}

où \frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}}) = ∇_{f′(t_{0},s)} \frac{∂}{∂x_{i}} . Il en vient

\begin{aligned}\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s}V & = & \frac{D}{∂t}(\frac{∂v^{i}(t,s)}{∂s} \frac{∂}{∂x_{i}})+\frac{D}{∂t}(v^{i}(t, s)\frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}})) \\ & = & \frac{∂^{2}v^{i}(t,s)}{∂t ∂s} \frac{∂}{∂x_{i}} +\frac{∂v^{i}(t,s)}{∂s} \frac{D}{∂t} \frac{∂}{∂x_{i}} +\frac{∂v^{i}(t,s)}{∂t} \frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}}) + v^{i}(t, s)\frac{D}{∂t}(\frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}})) \end{aligned}

donc

\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s}V −\frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t}V = ∑_{i=1}^{m} v^{i}(\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s} \frac{∂}{∂x_{i}} −\frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t} \frac{∂}{∂x_{i}}).

Soit f(t, s) = (x_{1}(t, s), ..., x_{m}(t, s)), on obtient

\frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}}) =\frac{∂x_{j}}{∂s} ∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} \frac{∂}{∂x_{i}} =\frac{∂x_{j}}{∂s} Γ_{ji}^{k} \frac{∂}{∂x_{k}}

c’est à dire

\begin{aligned}\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s}(\frac{∂}{∂x_{i}}) & = & \frac{∂^{2}x_{j}}{∂t ∂s}Γ_{ji}^{k} \frac{∂}{∂x_{k}} +\frac{∂x_{j}}{∂s} ∇_{\frac{∂x^{l}}{∂t}} _{\frac{∂}{∂x_{l}}} Γ_{ji}^{k} \frac{∂}{∂x_{k}} \\ & = & \frac{∂^{2}x_{j}}{∂t ∂s}∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} \frac{∂}{∂x_{i}} + \frac{∂x_{j}}{∂s} \frac{∂x^{k}}{∂t} ∇_{\frac{∂}{∂x_{k}}} ∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} \frac{∂}{∂x_{i}} , \end{aligned}

de même, en changeant d’ordre entre s et t :

\frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t}(\frac{∂}{∂x_{i}}) =\frac{∂^{2}x_{j}}{∂s ∂t}∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} \frac{∂}{∂x_{i}} +\frac{∂x_{j}}{∂s} \frac{∂x^{k}}{∂t} ∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} ∇_{\frac{∂}{∂x_{k}}} \frac{∂}{∂x_{i}} ,

ainsi

\begin{aligned}(\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s} \frac{∂}{∂x_{i}} −\frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t} \frac{∂}{∂x_{i}}) & = & v^{i} [\frac{∂x_{j}}{∂s} \frac{∂x^{k}}{∂t} (∇_{\frac{∂}{∂x_{k}}} ∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} − ∇_{\frac{∂}{∂x_{j}}} ∇_{\frac{∂}{∂x_{k}}})(\frac{∂}{∂x_{i}})] \\ & = & v^{i} \frac{∂x_{j}}{∂s} \frac{∂x^{k}}{∂t} R(\frac{∂}{∂x_{k}} ,\frac{∂}{∂x_{j}})\frac{∂}{∂x_{i}} , \end{aligned}

d’où

(\frac{D}{∂t} \frac{D}{∂s} \frac{∂}{∂x_{i}} − \frac{D}{∂s} \frac{D}{∂t} \frac{∂}{∂x_{i}}) = R(\frac{∂f}{∂t} , \frac{∂f}{∂s})V.

La proposition précédente donne une interprétation pour toute courbure associée à une connexion linéaire. Une interprétation de la courbure de Riemann en particulier necessite le developpement d’une notion d’une importante capitale, il s’agit de la deuxième forme fondamentale d’une sous variété relative à une connxion induite.

3.2 Deuxième forme fondamentale :

Soient M et M′ deux variétés différentielles et f : M ⟶ M′ un plongement. Si M′ est une variété Riemannienne, alors M′ induit sur M une structure Riemannienne donnée par

I(v, w) = ⟨v, w⟩_{M} = ⟨f_{∗}v, f_{∗}w⟩_{M′}, pour tous v, w ∈ χ(M)

I est dite la première forme fondamentale sur M.

On suppose que f est un plongement et que M′ = f(M), donc T_{p}M est un sous espace vectoriel de T_{p}M′ pour tout p ∈ M , aussi f_{∗} = id. Soit ∇′ la connexion Riemannienne sur M′, si X, Y ∈ χ(M) alors ∇X^{′}Y ∈ χ(M′) et non nécessairement dans χ(M). Pour tout p ∈ M′, on a la décomposition

T_{p}M′ = T_{p}M ⊕ (T_{p}M)^{⊥}

où (T_{p}M)^{⊥} désigne le sous espace vectoriel de T_{p}M′ orthogonal à T_{p}M. Cette décomposition permet de définir deux tenseurs \binom{1}{1} sur M :

h(X_{p}) = proj_{T_{p}M}(X_{p}) et v(X_{p}) = proj_{(T_{p}M)^{⊥}}(X_{p})

où X_{p} ∈ T_{p}M′.

Ainsi, on a

(∇X^{′}Y)_{p} = \underbrace{h(∇X^{′}Y)_{p}}_{∈T_{p}M} + \underbrace{v(∇X^{′}Y)_{p}}_{∈(T_{p}M)^{⊥}} .

On va noter par ( ∇_{X}Y)_{p} = h( ∇X^{′}Y)_{p} et B_{p}(X, Y) = v(∇X^{′}Y)_{p} et donc, on a

(∇X^{′}Y)_{p} = (∇_{X}Y)_{p} + B_{p}(X, Y).

Lemme 23 ∇_{X}Y est la connexion Riemannienne sur M relative à la métrique induite.

Preuve. Soit X, Y ∈ χ(M), l’application p ⟶ ∇_{X}Y |_{p} est la composante de la projection orthogonale de ∇X^{′}Y |_{p}∈ T_{p}M′ sur T_{p}M, c’est donc une application de classe C^{∞}. Il est facile de vérifier que ∇ satisfait les conditions d’une connexion linéaire. On va démontrer seulement que ∇ est symétrique, c’est à dire T = 0 et que ∇ est compatible avec I c’est à dire ∇I = 0.

Etape 1 : Soient X′, Y′ ∈ χ(M′) deux champs qui prolongent X et Y, ce prolongement n’est pas unique. On sait que la valeur du crochet [X′, Y′] et la valeur de la connexion ∇X′^{′}Y′ en en un point ne dépend que des valeurs de / X et Y en ce point.

\begin{cases}[X′, Y′]_{p} & = & [X, Y]_{p} \\ ∇Y′^{′}X′ |_{p} & = & ∇Y^{′} X |_{p} \end{cases}

On a ∇′ est symétrique, c’est à dire ∇X′^{′}Y′ − ∇Y′^{′}X′− [X′, Y′] = 0 et donc ∇X^{′}Y − ∇Y^{′} X − [X, Y] = 0, il en vient

∇_{X}Y − ∇_{Y} X + B(X, Y) − B(Y, X) − [X, Y] = 0.

Or on a ∇_{X}Y −∇_{Y} X−[X, Y] ∈ T_{p}M et B(X, Y)−B(Y, X) ∈ (T_{p}M)^{⊥} donc

\begin{cases}∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y] & = & 0 \\ et \\ B(X, Y) − B(Y, X) & = & 0 \end{cases}

Parsuite ∇ est symétrique.

Etape 2 : On va démontrer que ∇ est compatible avec I. En effet, soient X, Y et Z trois champs de vecteurs sur M, On a

X′⟨Y′, Z′⟩ = ⟨∇X′^{′}Y′, Z′⟩ + ⟨Y′, ∇X′^{′}Z′⟩

donc

X⟨Y, Z⟩ = ⟨∇_{X}Y, Z⟩ + ⟨B(X, Y), Z⟩ + ⟨Y, ∇_{X}Z⟩ + ⟨Y, B(X, Z)⟩

or B(X, Y) ∈ (T_{p}M)^{⊥} et Z ∈ T_{p}M donc ⟨B(X, Y), Z⟩ = 0 et de même ⟨Y, B(X, Z)⟩ = 0. D’où ∇ est compatible avec I. Finalement, la connexion symétrique et compatible avec I est unique et cette connexion est ∇ = proj_{T M}^{∇′}.

Remarque 24 B(X, Y) est un tenseur symétrique.

Définition 25 Soit p ∈ M, N_{p} ∈ (T_{p}M)^{⊥}. La deuxième forme fondamentale en p le long de N_{p} est la forme bilinéaire symétrique sur T_{p}M définie par :

A_{N_{p}}(X_{p}, Y_{p}) = ⟨N_{p}, B_{p}(X_{p}, Y_{p})⟩.

Ainsi la deuxième forme fondamentale mésure la différence entre la connexion sur M′ et la connexion induite sur M.

Théorème 26 (Wingarten) Soit p ∈ M, X_{p}, Y_{p} ∈ T_{p}M et N_{p} ∈ (T_{p}M)^{⊥} et soient X, Y deux extensions locales de X_{p}, Y_{p} sur χ(M). Soit N une extension de N_{p} en un champ de vecteurs normaux à M.

\begin{aligned}N & : & U ⊂ M & ⟶ & T M′ \\ & & p & ⟶ & N_{p} ∈ (T_{p}M)^{⊥} \end{aligned}

alors A_{N}(X, Y) = ⟨N, B(X, Y)⟩ = −⟨∇X^{′}N, Y ⟩.

Preuve. En effet , ∇_{X}Y est orthogonal à N, donc

\begin{aligned}⟨N, B(X, Y)⟩ & = & ⟨N, ∇X^{′}Y − ∇_{X}Y ⟩ \\ & = & ⟨N, ∇X^{′}Y ⟩ \end{aligned}

or :

X⟨N, Y ⟩ = ⟨∇X^{′}N, Y ⟩ + ⟨N; ∇X^{′}Y ⟩

donc ⟨N; ∇X^{′}Y ⟩ = X⟨N, Y ⟩ − ⟨∇X^{′}N, Y ⟩ = −⟨∇X^{′}N, Y ⟩.

Exemple 27 On considère sur ℝ^{3} la connexion canonique. Pour tous X = u^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} , Y = v^{j} \frac{∂}{∂x_{j}} deux champs de vecteurs on a ∇_{X}Y = u^{i} \frac{∂v^{k}}{∂x_{i}} \frac{∂}{∂x_{k}} et si

c: I ⟶ ℝ^{3}

une courbe lisse, la dérivée covariante d’un champ de vecteur V le long de (c) associé à ∇ est :

\begin{aligned}\frac{D}{∂t}V & = & \frac{dV}{dt} \\ & = & \frac{dV^{i}}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} \end{aligned}  (9)

Aussi, si M est une surface de ℝ^{3} et (c) est une courbe intégrale d’un vecteur X_{p} ∈ T_{p}M alors pour tout Y ∈ χ(ℝ^{3}), défini au voisinage de p, on a

\frac{d}{dt}(V (c(t))|_{t=0} = \frac{D_{c}(Y_{c(t)})}{dt}|_{t=0} = ∇_{X_{p}}^{ℝ^{3}}Y.

Maintenant, pour X, Y ∈ χ(M), si on calcule ∇_{X}Y on ne va pas obtenir nécessairement un champ sur M, pour induire une connexion sur M on prend en tout point p ∈ M la projection de ∇_{X}Y ∈ ℝ^{3} sur T_{p}M. Une telle projection se fait relativement à une normale unitaire N_{p} à M en p.

proj_{N}(∇_{X}Y |_{p}) =< ∇_{X}Y, N > N

On définit

∇_{X}^{t}Y = ∇_{X}Y − < ∇_{X}Y, N > N

C’est une connexion sur M, dite connexion tangentielle induite sur M par ∇. Considèrons l’application de Gauss :

\begin{aligned}G & : & M & ⟶ & S \\ & & q & ⟶ & N_{q} \end{aligned}

N_{q} est la normale unitaire à M en q, soit X_{p} ∈ T_{p}M et c: I ⟶ M une courbe integrale de X_{p}, c’est à dire c(0) = p et c′(0) = X_{p}. On a

G_{p} |_{∗}: T_{p}M ⟶ T_{p}S ≃ T_{p}M

est donnée par : G_{_{∗}p}X_{p} = \frac{d}{dt}(N ∘ c(t)) |_{t=0} . D’après (9), on a

G_{_{∗}p}X_{p} = \frac{D}{dt}(N(c(t))) |_{t=0}= ∇_{X_{p}}^{ℝ^{3}}N.

Ainsi,

⟨ G_{_{∗}p}X_{p}, Y_{p}⟩ = ⟨∇_{X_{p}}^{ℝ^{3}}N, Y_{p}⟩

et d’après le théorème de weingaten

⟨∇_{X_{p}}^{ℝ^{3}}N, Y_{p}⟩ = −A_{N_{p}}(X_{p}, Y_{p})
= −A_{N_{p}}(Y_{p}, X_{p})
= ⟨X_{p}, G_{_{∗}p}Y_{p}⟩

donc G_{_{∗}p} est symétrique relativement à ⟨., .⟩. En particulier, si X_{p} = Y_{p} on obtient : A_{N_{p}}(X_{p}, X_{p}) = −⟨ G_{_{∗}p}X_{p}, X_{p}⟩. il en vient que −G_{_{∗}p} admet deux valeurs propres réelles k_{1} et k_{2} et que les vecteurs propres correspondants v_{1} et v_{2} sont orthogonaux.

Si l’on coupe la surface par un plan normal en p contenant un vecteur unitaire v en p,l’ intersection avec la surface est une courbe c : I → M avec c(0) = p et c′(0) = v (on suppose que c est paramétrisé par le paramètre curviligne)

Comme c′′(t) se trouve dans le plan normal et il est perpendiculaire à c′(t) alors c′′(t) est colinéaire avec N_{c(t)}. Ainsi

< c′(t), G(c(t)) >= 0

En prenant la dérivée par rapport à t et puis on pose t = 0 on obtient

\begin{aligned}< c′′(t), G(c(t) > & = & − < c′(t), G_{∗(c(t))}c′(t) > \\ < c′′(0), N_{p} > & = & − < v, G_{∗p}v >= II_{N_{p}}(v, v) \end{aligned}  (10)

où on a noté par II_{N_{p}} la deuxième forme fondamentale A_{N_{p}}. Le membre à gauche n’est autre que la courbure orientée de c en p. Il est claire que les valeurs extremales de la courbure en faisant varier la section normale correspondent aux valeurs extremales de forme quadratique II_{N_{p}}(v, v) où v est un vecteur tangent unitaire. Il est connu que ces valeurs sont atteintes dans les directions des vecteurs propres de la matrice II_{N_{p}}. Ceci montre que les nombres k_{1} et k_{2} sont les courbures principales et que v_{1} et v_{2} sont les directions principales. La courbure de Gauss est par définition k_{1}.k_{2}. D’autre part, on peut calculer la deuxième forme fondamentale en fonction d une paramétrisation locale

ϕ: U ⊂ ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}

est une paramétrisation de M au voisinage de p, \{\frac{∂ϕ}{∂x_{1}} , \frac{∂ϕ}{∂x_{2}} \}_{p} est une

base de T_{p}M, et N_{p} est donnée par :

N_{p} = \frac{\frac{∂ϕ}{∂x_{1}} ∧ \frac{∂ϕ}{∂x_{2}}}{∥ \frac{∂ϕ}{∂x_{1}} ∧ \frac{∂ϕ}{∂x_{2}} ∥}

est la normale unitaire en p à M, mais

\begin{aligned}B(\frac{∂ϕ}{∂xi}, \frac{∂ϕ}{∂x_{j}}) & = & ∇ℝ^{3}_{\frac{∂ϕ}{∂xi}} \frac{∂ϕ}{∂x_{j}} − ∇t_{\frac{∂ϕ}{∂xi}} \frac{∂ϕ}{∂x_{j}} \\ & = & ⟨∇ℝ^{3}_{\frac{∂ϕ}{∂xi}} \frac{∂ϕ}{∂x_{j}} , N⟩ · N. \end{aligned}

Donc sa deuxième forme fondamentale est donnée par :

II(\frac{∂ϕ}{∂xi}, \frac{∂ϕ}{∂x_{j}}) = ⟨∇ℝ^{3}_{\frac{∂ϕ}{∂xi}} \frac{∂ϕ}{∂x_{j}} , N⟩.

Application : Trouver la deuxième forme fondamentale lorsque M = S^{2} pour la paramétrisation :

σ: S^{2} ⟶  ℝ^{3}
(θ, ϕ) ⟶ (x = cos θ sin ϕ, y = sin θ sin ϕ, z = cos ϕ)

Exemple 28 En utilisant (10), on peut assurer une interprétation naturellle de la deuxième forme fondamentale. On rappelle que la dérivé covariante d’un champ de vecteurs sur une surface est la composante tangentielle de la dérivée d’un champs de vecteurs. Si c est une courbe paramétrisée par un paramètre curviligne, plongée dans une surface M alors

c′′ =< c′′, N > N + \frac{Dc′}{dt} = II_{N}(c′, c′)N + \frac{Dc′}{dt}

la quantité k_{g} = ||Dc′/dt|| est appellée la courbure géodésique de c. Ainsi une courbe à vecteur vitesse unitaire est une géodésique si et seulement si k_{g} = 0. Pour une courbe géodésique c la courbure est la courbure normale

c′′ = II_{N}(c′, c′)N

on dit que II_{N}(c′, c′) représente l’accélération de la géode’sique

Théorème 29 (l’équation de Gauss) Soit R′ la courbure de M′ et R une courbure induite sur M. Pour tous champs de vecteurs X, Y, Z, T ∈ χ(M) on a l’identité suivante

⟨R′(X, Y)Z, T ⟩ = ⟨R(X, Y)Z, T ⟩−⟨B(X, T), B(Y, Z)⟩+⟨B(X, Z), B(Y, T)⟩.

Preuve. On a ∇′ = ∇ + B et donc

∇X^{′}∇Y^{′} Z = ∇_{X}∇_{Y} Z + B(X, ∇_{Y} Z) + ∇X^{′}B(Y, Z)

comme < B(., .), T >= 0, alors on obtient

< ∇X^{′}∇Y^{′} Z, T >=< ∇_{X}∇_{Y} Z, T > + < ∇X^{′}B(Y, Z), T >

de la même façon, on a

\begin{cases}< ∇Y^{′} ∇X^{′}Z, T > & = & < ∇_{Y} ∇_{X}Z, T > + < ∇Y^{′} B(X, Z), T > \\ < ∇[X,Y]^{′}Z, T > & = & < ∇_{[X,Y]}Z, T > \end{cases}

en combinant ces équations, on obtient

\begin{aligned}< R′(X, Y), Z, T > & = & < R(X, Y)Z, T > + < ∇X^{′}B(Y, Z), T > \\ & − & < ∇Y^{′} B(X, Z), T > \end{aligned}

finalement par le théorème de Weingarten avec B(Y, Z) et B(X, Z) sont de vecteurs normaux, on obtient

\begin{aligned}< R′(X, Y), Z, T > & = & < R(X, Y)Z, T > − < B(X, T), B(Y, Z) > \\ & + & < B(X, Z), B(Y, T) > \end{aligned}

Corollaire 30 Si dim M = dim M′ −1 et X, Y, Z et T dans χ(M) alors

\begin{aligned}< R′(X, Y), Z, T > & = & < R(X, Y)Z, T > − < II_{N}(X, T), II_{N}(Y, Z) > \\ & + & < II_{N}(X, Z), II_{N}(Y, T) > \end{aligned}

Preuve. Comme dim M = dim M′ − 1 alors l’espace tangent T_{p}M′ est engendré par T_{p}M et N_{p}. Ainsi

B(X_{p}, Y_{p}) = II_{p}(X_{p}, Y_{p})N_{p}

comme N est normal unitaire alors

< B(X, T), B(Y, Z) >=< II_{N}(X, T), II_{N}(Y, Z) >

et

< B(X, Z), B(Y, T) >=< II_{N}(X, Z), II_{N}(Y, T) >

En prenant Z = Y et T = X dans l’équation de Gauss, on obtient la formule suivante

Corollaire 31 Si dim M = dim M′ − 1 alors pour tous X, Y ∈ χ(M) on a

< R′(X, Y), Y, X > = < R(X, Y)Y, X > +II_{N}(X, Y)^{2} − II_{N}(X, X)II_{N}(Y, Y)

Exemple 32 On va continuer notre exposé sur la courbure des surfaces, on va montrer que la courbure de Gauss est

K = \frac{< R(X, Y)Y, X >}{||X||^{2}||Y ||^{2}− < X, Y >^{2}}  (11)

Noter que le numérateur dépend seulement du tenseur de courbure qui est définie selon le choix de la métrique Riemannienne. Le dénominateur représente l’aire du parallèlogramme défini par X_{p} et Y_{p} dans T_{p}M, ainsi cette quatité de’pend seulement de la métrique Riemannienne, il en vient que la courbure de Gauss est invariante par les isométries locales.

Pour vérifier (11) on a besoin de calculer la matrice de la deuxième forme fondamentale selon une certaine base orthonormée du plan tangent, ensuite on prend son déterminant. On suppose que {X, Y } = {e_{1}, e_{2}} est une base orthonomée de T_{p}M. Dans ce cas

K = det(II_{N}(e_{i}, e_{j})) = II_{N}(e_{1}, e_{1})II_{N}(e_{2}, e_{2}) − II_{N}(e_{1}, e_{2})^{2}

en utilisant le corollaire 31 et le fait que R′ = 0 on obtient

< R(e_{1}, e_{2})e_{2}, e_{1} >= II_{N}(e_{1}, e_{1})II_{N}(e_{2}, e_{2}) − II_{N}(e_{1}, e_{2})^{2}

et ||e_{1}||^{2}||e_{2}||^{2}− < e_{1}, e_{2} >^{2}= 1 et donc (11) est vraie.

Maintenant si {X, Y } n’est pas orthonormée, on orthonormalise par la procédure de Gram-Schmidt, obtenant ainsi

e_{1} = \frac{X}{||X||} et e_{2} = \frac{Y − < Y, \frac{X}{||X||} > \frac{X}{||X||}}{||Y − < Y, \frac{X}{||X||} > \frac{X}{||X||}||}

un simple calcul donne

K =< R(e_{1}, e_{2})e_{2}, e_{1} >= \frac{< R(X, Y)Y, X >}{||X||^{2}||Y ||^{2}− < X, Y >^{2}}

Finalement pour conserver certaines notations concernant la courbure des surfaces, on rappelle que les coèfficients II_{N}(e_{1}, e_{1}), II_{N}(e_{2}, e_{2}), II_{N}(e_{1}, e_{2}) de la deuxième forme fondamentale sont notés par e, f, g et que les coèfficients de la premìere forme fondamentale sont note’s par E, F, G alors on a

K = \frac{eg − f^{2}}{EG − F^{2}}

Exemple 33 Pour une sphère S_{r}^{2} de rayon r, l’application de Gauss G : S_{r}^{2} → S^{2} es donné par G(x) = x/r et l’orientation est définie par les vecteurs unitaires normaux sortants. on a G_{∗,x} = \frac{1}{r}id. Les valeurs propres de la matrice associée a −G_{∗,x} sont k_{1} = k_{2} = −1/r et donc K = 1/r^{2} en particulier, pour la sphère unité S^{2} on a K = 1

3.3 Courbure Sectionnelle et Courbure de Ricci

On va dans cette partie, donner une nouvelle interprétation de la courbure. Soit p un point d’une variété Riemannienne M, X_{p}, Y_{p} sont deux vecteurs line’airement indépendants de T_{p}M. Soit Π = Π_{(X_{p},Y_{p})} le plan engendré par ces deux vecteurs. L’aire du parallèlogramme défini par X_{p} et Y_{p} est donnée par

A(X_{p}, Y_{p}) = ||X_{p}||^{2}||Y_{p}||^{2}− < X_{p}, Y_{p} >^{2}

Définition 34 la courbure sectionnelle de M en p, déterminée par Π est

K(Π) = \frac{g(R(X_{p}, Y_{p})Y_{p}, X_{p})}{A(X_{p}, Y_{p})}  (12)

Pour vérifier que cette définition a un sens, il faudrait vérifier que K ne dépend pas du choix d’une base de Π. En effet, si {Xp^{′}, Yp^{′}} est une deuxième base de Π alors

\begin{cases}Xp^{′} & = & a_{11}X_{p} + a_{12}Y_{p} \\ Yp^{′} & = & a_{21}X_{p} + a_{22}Y_{p} \end{cases}

on trouve

< R(Xp^{′}, Yp^{′})Yp^{′}, Xp^{′} >= det(a_{ij})^{2}R(X_{p}, Y_{p})Y_{p}, X_{p} >

de même l’aire du nouveau parallèlogramme est A(Xp^{′}, Yp^{′}) = det(a_{ij})^{2}A(X_{p}, Y_{p}) alors

K(Π_{(X′_{p},Y′_{p})}) = K(Π_{(X_{p},Y_{p})})

Dans le cas des surfaces, il n’y a qu’une seule courbure sectionnelle en tout point qui n’est autre que la courbure de Gauss.

Définition 35 On dit que (M, g) est de courbure positive (respectivement négative), si pour tout p ∈ M et pour tous deux vecteurs linéairement indépondants {u, v} de T_{p}M on a K(u, v) ≥ 0 (respectivement K(u, v) ≤ 0), on dit que (M, g) est à courbure constante si sa courbure sectionnelle k(u, v) ne dépend ni du point p ni de {u, v}.

On va introduire les résultats suivants comme de propriétés dont la demonstration sera laissée au lecteur

\underline{Propriétés :}

1. Si R_{1} et R_{2} sont deux (1, 3)− tenseurs de (M, g) vérifiant l’antisymétricité par rapport aux deux premières composantes et s’ils vérifie l’identité de Bianchi alors : Si < R_{1}(X, Y)Y, X >=< R_{2}(X, Y)Y, X > alors R_{1} = R_{2}

2. Dans les mêmes conditions de la première propriété, si on suppose que pour tout point p de M et tout plan Π = Π_{(Xp,Yp)} ⊂ T_{p}M on a

K_{1}(Π) = K_{2}(Π)

alors R_{1} = R_{2}

3. Si M admet une courbure sectionnelle constante alors

R(X, Y)Z = K(< Y, Z > X− < X, Z)Y)

Définition 36 On appelle opérateur de Ricci, le champ de tenseurs : ρ: T_{p}M ⟶ T_{p}M donné par

ρ(X)(p) = Ricci_{p}X_{P} = ∑_{i=1}^{n} R(X_{p}, e_{i})e_{i}

avec X ∈ χ(M), X_{P} ∈ T_{p}M et {e_{i}}_{i=1}^{n}est une base orthonormée de (T_{p}M , g_{p}).

Pour tout p ∈ M et tous X_{P} , Y_{P} ∈ T_{p}M fixés on définit la courbure de Ricci par :

Ricci(X, Y)(p) = Ricci_{p}(X_{P} , Y_{P}) = g(Ricci_{p}X_{P} , Y_{P}).

Exemple 37 On considère l’injection de la sphère S^{2} dans ℝ^{3}. La métrique de S^{2} est celle induite par la métrique canonique de ℝ^{3}

\begin{aligned}h & = & i^{∗}g_{0} \\ & = & sin^{2}ϕdθ ⊗ dθ + dϕ ⊗ dϕ \end{aligned}

soit \{e_{i}\}_{i=1}^{2} une base orthonormée, où e_{1} = \frac{1}{sin^{2} ϕ} \frac{∂}{∂θ} et e_{2} = \frac{∂}{∂ϕ}. La courbure R est donnée par :

R(e_{1}, e_{2})e_{1} = ∇_{e_{1}}∇_{e_{2}}e_{1} − ∇_{e_{2}}∇_{e_{1}}e_{1} − ∇_{[e_{1},e_{2}]}e_{1} = −e_{2}.

D’où la courbure sectionnelle est :

K(e_{1}, e_{2}) = −\frac{R(e_{1}, e_{2}, e_{1}, e_{2})}{h(e_{1}, e_{1})h(e_{2}, e_{2}) − h^{2}(e_{1}, e_{2})} = −\frac{h(−e_{2}, e_{2})}{1 × 1 − 0} = 1.

Aussi la courbure de Ricci est donnée par :

Ricci(X) = ∑_{i=1}^{2} R(X, e_{i})e_{i}.

Or Ricci(e_{1}) = e_{1} et Ricci(e_{2}) = e_{2}. D’où

Ricci = \binom{1 0}{0 1}.

4 Fibrés Différentiables

4.1 Introduction

On désigne par 𝕜 le corps ℝ ou ℂ. Un 𝕜-fibré vectoriel (f.v) de rang r, ayant pour base une variété M, est une réunion disjointe E = ⊔_{m∈M}E_{m} de 𝕜-e.v de dimension r, reliés différentiablement entre eux en un certain sens à préciser ulterieurement. L’exemple prototype est le fibré vectoriel tangent à une variété T M = ⊔_{m∈M}T_{m}M

La donnée d’un repère (ou une base) de E_{m} équivaut à la donnée d’un isomorphisme

\begin{aligned}z : & ℝ^{r} & ⟶ & E_{m} \\ & (a_{1}, ⋯, a_{r}) & → & a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r} \end{aligned}

Etant donnés deux tels repères z et z′ en m, il existe un élément g ∈ GL(𝕜, r) et un seul (la matrice de changement de base) tel que z′ = z ∘g.

On dit que GL(𝕜, r) opère transitivement à droite sur l’ensemble R_{m}(E) des repères de E_{m}. R(E) = ⊔_{m∈M}R_{m}(E) est un exemple de fibré principal

de groupe de structure GL(𝕜, r). Réduire le groupe de structure à un sous groupe G de GL(𝕜, r) c’est se donner un G-sous fibré principal P de R(E) : cela revient à définir sur chaque fibre E_{m} une structure plus riche que la seule structure d’e.v d’une façon dépendante différentiablement de m en un certain sens qu’on va préciser dans ce chapitre. Par exemple, lorsque 𝕜 = ℝ, réduire le groupe GL(ℝ, r) en le sous groupe GL^{+}(ℝ, r) des matrices à déterminant strictement positifs, équivaut à munir chaque fibre E_{m} d’une orientation. De même, réduire le groupe en le sous groupe O(r) des matrices orthogonales revient à munir chaque fibre d’un produit scalaire

Finalement, si à partir d’un f.v on peut construire le f.p de ses repères, on peut réciproquement reconstruire le f.v à partir du fibre des repères

4.2 Fibrés localement triviaux

F et M sont deux variétés différentiables (C^{∞})

Définition 38 Se donner un fibré différentiable localement trivial de base M, de fibré type F (plus brièvement de fibré F) et d’espace total E, c’est se donner une variété E et une application différentiable π : E ⟶ M telle que pour tout m ∈ M il existe une carte U de M autour de m et il existe un difféomorphisme

ϕ_{U} : F × U ⟶ π^{−1}(U)

avec π_{/U} ∘ ϕ_{U} = P_{2} la deuxième projection, c’est à dire le diagramme

F × U ⟶^{ϕ_{U}} π^{−1}(U) ⊂ E
↘_{P_{2}}  ↓ π_{U}
U

est commutatif, où on a noté π_{U} c’est π_{/π^{−1}(U)}

\underline{Déduction :} Si U est réduit à un point U = \{m\} alors π^{−1}(m) ≃ F × {m} ≃ F donc π^{−1}(m) ≠ ϕ et π est surjective. Aussi, pour tout m ∈ U , π^{−1}(U) ≃ F est une variété et parsuite π est une submersion.π^{−1}(m) se note E_{m} et parsuite E = ⊔_{m∈M}E_{m}

Un difféomorphisme tel que ϕ_{U} est dit "trivialisation locale" de E

Définition 39 (Fibrés triviaux) Lorsque E = F × M et π = P_{2} : F × M ⟶ M alors (E, F, M, π) est dit fibré trivial et dans ce cas ϕ_{U} = id

\begin{aligned}ϕ_{m} : & F × \{m\} & ⟶ & E_{m} = π^{−1}(m) = F × \{m\} \\ & (x, m) & → & (x, m) \end{aligned}

est l’identité pour tout m ∈ M

Définition 40 On appelle section (différentiable), du fibré π : E ⟶ M toute application s : M ⟶ E telle que π ∘ s = id_{M} c’est à dire π(s(m)) = m et donc pour tout m ∈ M on a s(m) ∈ π^{−1}(m) ainsi une section s vérifie :

\begin{aligned}s : & M & ⟶ & E = ⊔_{m∈M}E_{m} \\ & p & → & s(p) ∈ E_{p} \end{aligned}

Noter que de telles sections n’existent pas toujours.

Exemple 41 Un champ X ∈ χ(M) est une section sur le fibré T M =

T_{m}M_{m∈M}

\begin{aligned}X : & M & ⟶ & T M \\ & m & → & X_{m} ∈ T_{m}M \end{aligned}

Une 1− forme différentielle ω ∈ ∧^{1}M est une section sur le fibré

T^{∗}M = T_{m}^{∗}M_{m∈M}

\begin{aligned}ω : & M & ⟶ & T^{∗}M \\ & m & → & ω_{m} ∈ T_{m}^{∗}M \end{aligned}

Une k− forme différentielle ω ∈ ∧^{k}M est une section sur le fibré

∧^{k}T^{∗}M = ⊔_{m∈M} ∧^{k} T_{m}^{∗}M

\begin{aligned}ω : & M & ⟶ & ∧^{k}T^{∗}M \\ & m & → & ω_{m} ∈ ∧^{k}T_{m}^{∗}M \end{aligned}

Définition 42 On appelle morphisme (resp. isomorphisme) du fibré π : E ⟶ M dans le fibré π′ : E′ ⟶ M de même base M, toute application differentiable (resp. tout difféomorphisme), f : E ⟶ E′ telle que π′ ∘ f = π : la restriction f_{m} de f à une fibre E_{m} prend ses valeurs dans la

fibre Em^{′}

\begin{aligned}E & ⟶^{f} & E′ \\ π ↘ & & ↙ π′ \\ & M \end{aligned}

Cela voudrait dire que si x ∈ E_{m} = π^{−1}(m) donc π(x) = m, on a

π′(f(x)) = π′ ∘ f(x) = π(x) = m et donc f(x) ∈ π^{′−1}(m) = Em^{′} ,

parsuite

\begin{aligned}f_{m} & E_{m} & ⟶ & Em^{′} \\ & x & → & f_{m}(x) = f(x) \end{aligned}

Exemple 43 On suppose que F est une variété à bord (∂F ≠ ϕ), on note ∂_{F} E = ⊔_{m∈M}∂E_{m} appelé bord du fibré E. On définit l’application

\begin{aligned}∂π & ∂_{F} E & ⟶ & M \\ & x & → & π(x) \end{aligned}

l’application ∂π = π_{/∂_{F} E} est différentiable et de plus, pour tout p ∈ M il existe un voisnage ouvert U de p dans M et il exite

∂ϕ_{U} : ∂F × U ⟶ (∂π)^{−1}(U)

un difféomorphisme, défini de la façon suivante : m ∈ U, (∂π)^{−1}(m) = ∂E_{m} et comme F ≃ E_{m} alors ∂F ≃ ∂E_{m} et donc

∂ϕ_{m} : ∂F × {m} ⟶ ∂F

est un difféomorphisme. ∂π ∘ ∂ϕ(x, m) = ∂π(ϕ_{U}(x, m)) = m = P_{2}(x, m). D’autre part, l’application différentiable i : ∂_{F} E ⟶ E qui est l’inclusion naturelle, vérifie

∂_{F} E ⟶^{i} E
∂π ↘ ↙ π
M

π ∘ i = ∂π et donc i est un morphisme d’espaces fibrés

Si x = (x_{1}, ⋯, x_{n}) est un système de coordonnées locales sur U ⊂ M et y = (y_{1}, ⋯, y_{r}) un système de coordonnées locales sur F, on obtient naturellement un système de coordonnées locales (x, y) sur F × U et par conséquent sur l’espace total du fibré E_{/U} à l’aide de

ϕ_{U} : F × U ⟶^{≃} π^{−1}(U) = E_{/U}

Exemple 44 F = ℝ^{n} est le fibre type du fibré T M ⟶ M

\begin{matrix}ℝ^{n} × U & ⟶ & π^{−1}(U) \\ (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}; x_{1}, ⋯, x_{n}) & → & (X_{p}, p) \end{matrix}

où p a pour composantes locales (x_{1}, ⋯, x_{n}) et X_{p} = ξ_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p}

Définition 45 Un tel système de coordonnées locales sur l’espace total du fibré sera dit adapté à la fibration

si (x′, y′) est un autre système de coordonnées locales adapté, le changement de coordonnées locales est de la forme

x = x(x′, y′), y = y(x′, y′)

tel que |\frac{D(x)}{D(x′)}| ≠ 0 et |\frac{D(y)}{D(y′)}| ≠ 0

Soit π : E ⟶ M un fibré différentiable et f : M ⟶ M′ une application différentiable. On pose :

E′ = {(m, e′) ∈ M × E / f(m′) = π(e)}

comme l’indique le diagramme suivant

\begin{aligned}E & ⟶^{π} & M \\ & & ↑ f \\ E′ & ⟶^{π′} & M′ \end{aligned}

Remarque 46 E′ ≠ ϕ car si m′ ∈ M′ alors f(m′) ∈ M et comme π est surjective alors il existe e ∈ E tel que f(m′) = π(e)

L’application

\begin{matrix}E′ & ⟶^{π′} & M′ \\ (m′, e) & → & → m′ \end{matrix}

fait de E′ un fibré localement trivial de base M′ et de même fibre type F que E. La trivialisation se fait de la façon suivante : si ϕ_{U} : F ×U ⟶^{≃} E_{U} est une trivialisation de E, on définit∈ N

\begin{aligned}ϕU^{′} : & F × f^{−1}(U) & ⟶ & Ef^{−1}(U)^{′} = (f ∘ π′)^{−1}(U) \\ & (λ, m′) & → & ϕ_{U}(λ, f(m′)) \end{aligned}

la fibre Em′^{′} de E′ est E_{f(m′)}, c’est à dire E′ = ⊔_{m′∈M′}E_{f(m′)}

Définition 47 Le fibré π′ : E′ ⟶ M′ est appelé image réciproque de E par f et se note f^{−1}(E)

Remarque 48 On a ϕ_{U}(λ, f(m′)) ∈ E_{f(m′)} = π^{−1}(f(m′) , c’est un élément de E′ et plus précisement de Em′^{′}, en effet, on va appelé e =

ϕ_{U}(λ, f(m′)) ∈ E_{f(m′)} , donc π(e) = f(m′) et donc (m′, e) ∈ Em′^{′} =

{(m′, x) ∈ {m′} × E / f(m′) = π(x)}, en fait, il faudrait regarder E_{U} par exemple comme

E_{U} = ⊔_{m∈U}E_{m} = ⊔_{m∈U}{(m, x) / π(x) = m}

Définition 49 (Fibrés induits). Pour toute sous-variété différentiable N de M, l’image réciproque d’un fibré E ⟶ M par l’inclusion f = i; N ↪ M possède une structure de fibré différentiable de base N et de même fibre type que E qu’on appelle le fibré induit par E sur N ou la restriction de E sur N et que l’on note par E_{/N} = ⊔_{m∈N}E_{m}

Soient π_{1} : E_{1} ⟶ M et π_{2} : E_{2} ⟶ M deux fibrés localement triviaux de même base M et de fibres types F_{1} et F_{2} respectivement. Le sous espace E_{1} ×_{M} E_{2} de E_{1} × E_{2} donné par

E_{1}×_{M}E_{2} = {(e_{1}, e_{2}) ∈ E_{1}×E_{2} / π_{1}(e_{1}) = π_{2}(e_{2})} = ⊔_{x∈M}(π_{1}^{−1}(x)×π_{2}^{−1}(x))

possède une structure naturelle de fibré localement trivial de base M et de fibre type F_{1} × F_{2}, de la façon suivante :

\begin{aligned}π : & E_{1} ×_{M} E_{2} & ⟶ & M \\ & (e_{1}, e_{2}) & → & π(e_{1}, e_{2}) = π_{1}(e_{1}) = π_{2}(e_{2}) \end{aligned}

si ϕ_{1} : F_{1} × U ⟶^{≃} E_{1}|_{U} et ϕ_{1} : F_{2} × U ⟶^{≃} E_{2}|_{U} de’signent des trivialisations locales de E_{1} et E_{2} au dessus d’un même ouvert U de M, on définit une trivialisation locale

ϕ : (F_{1} × F_{2}) × U ⟶ E_{1} ×_{M} E_{2}|_{U}

telle que

ϕ((λ_{1}, λ_{2}), m) = (ϕ_{1}(λ_{1}, m)_{∈E_{1,m}}, ϕ_{2}(λ_{2}, m)_{∈E_{2,m}})

Noter que les images par ϕ_{1} et ϕ_{2} se rencontrent en m, c’est à dire

E_{1} ×_{M} E_{2} = ⊔_{m∈M}(E_{1,m} × E_{2,m})

Définition 50 (Produits fibrés). Le fibré E_{1} ×_{M} E_{2} ⟶ M ainsi défini

est appelé produit fibré de E_{1} et E_{2}.

Soit E ⟶^{π} M un fibré différentiable, X̃ ∈ χ(E) et soit le diagramme

\begin{matrix}T E & ⟶^{π_{∗}} & T M \\ X̃ ↑ & & ↑ \\ E & ⟶^{π} & M \end{matrix}

Définition 51 On dit qu’un champ de vecteurs X̃ ∈ χ(E) est prolongeable si pour tous e_{1}, e_{2} ∈ E_{m} on a

π_{∗,e_{1}}(X̃_{e_{1}}) = π_{∗,e_{2}}(X̃_{e_{2}}) dans T_{m}M

il existe un unique X ∈ χ(U) noté π_{∗}(X̃) tel que X_{m} = π_{∗}(X̃_{e}) pour n’importe quel e ∈ E_{m}; Le champ X est dit la projection de X̃ sur M

4.3 Fibrés Vectoriels

Ce sont des f.d.l.t (fibrés différentiels localement triviaux) E ⟶ M mais qui vérifient en plus : la fibre type F et chaque fibre E_{m} sont des e.v (espaces vectoriels) de dimension r et il est possible de choisir une trivialisation locale ϕ_{U} telle que chaque difféomorphisme ϕ_{m} : F ⟶ E_{m} soit un isomorphisme d’e.v, r est dit le rang du fibré

A tout f.v.complexe E ⟶ M de rang r, on peut associer :

* le f.v . réel sous-jacent E_{ℝ} ⟶ M de rang 2r

* le fibré complexe \overline{E} ayant le même fibré vectoriel sous-jacent E_{ℝ} que E mais tel que la multiplication par i dans \overline{E} soit la mupltiplication par −i dans E, ce fibré est dit le f.v. conjugué

Exemple 52 ℝ^{r} × M ⟶^{π} M ou plus généralement 𝕜^{r} × M ⟶ M est le fibré vectoriel trivial de rang r et de base M. Ona π(x, m) = m et π^{−1}(m) = ℝ^{r} × {m} et donc F = ℝ^{r}, aussi, ϕ_{m} = id : ℝ^{r} × {m} ⟶ E_{m} = π^{−1}(m) et bien sûr ℝ^{r} × {m} ≃ ℝ^{r},ce fibré se note Θ^{r}(M)

Exemple 53 Le fibré tangent sur une variété est donné par

\begin{matrix}T M & ⟶^{π} & M \\ (p, X_{p}) & → & p \end{matrix}

est un fibré vectoriel de rang n = dim M. Si (x, U) est une carte autour de p alors

\begin{aligned}ϕ_{U} : & ℝ^{n} × U & ⟶ & T_{p}M = π^{−1}(p) \\ & (X^{1}, ⋯, X^{n}, x_{1}, ⋯, x_{n}) & → & X_{p} = X^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p} \end{aligned}

est une trivialisation locale de T M.

La trivialisation locale de T M, veut que localement, dans un ouvert U contenant m de M, tout point (m, X_{m}) de T M admet une écriture unique (X^{1}, ⋯, X^{n}, x_{1}, ⋯, x_{n}) où (x_{1}, ⋯, x_{n}) sont les composantes

locales de m et (X^{1}, ⋯, X^{n}) sont les composantes de X_{m} sur \frac{∂}{∂x_{i}} |_{m}.

Exemple 54 Le fibré cotangent

\begin{matrix}T^{∗}M & ⟶^{π} & M \\ (p, ω_{p}) & → & p \end{matrix}

c’est le fibré de rang n des 1-formes sur une variété M. si m ∈ M et (x, U) est une carte autour de m, on a la trivialisation

\begin{aligned}ϕ_{U} : & ℝ^{n} × U & ⟶ & T_{p}^{∗}M = π^{−1}(p) \\ & (ω^{1}, ⋯, ω^{n}, x_{1}, ⋯, x_{n}) & → & ω_{p} = ω^{i}dx_{i}|_{p} \end{aligned}

ainsi, localement (m, ω_{m})s’écrit (ω^{1}, ⋯, ω^{n}, x_{1}, ⋯, x_{n})

Définition 55 On appelle morphisme (resp. isomorphisme) de fibrés vectoriels de base M, tout morphisme (resp. isomorphisme) de fibrés dont on suppose de plus que la restriction sur chaque fibre est linéaire (resp. isomorphisme d’e.v) c’est à dire f : E ⟶ E′ est différentiable (resp. difféomorphisme) et tel que f_{m} = f_{/E_{m}} : E_{m} ⟶ E_{f(m)} est linéaire (resp. isomorphisme)

Lemme 56 Si E ⟶ M désigne un fibré vectoriel différentiable réel ou (resp. complexe), l’ensemble Γ(E) des sections différentiables de E est muni d’une structure naturelle de C^{∞}(M)-module, (resp. de C^{∞}(M, ℂ)- module) : si σ, τ ∈ Γ(E) donc

\begin{aligned}σ, τ : & M & ⟶ & E \\ & m & → & σ_{m}, τ_{m} ∈ E_{m} \end{aligned}

on définit (uσ + vτ)_{(m)} = u(m)σ_{m} + v(m)τ_{m} ∈ E_{m} où u, v ∈ C^{∞}(M)

Remarque 57 Si f : M′ ⟶ M est une application différentiable alors le fibré inverse f^{−1}(E) = ⊔_{m∈M′}E_{f(m)} ⟶ M′ est un f.v. de même rang

Définition 58 On appelle métrique riemannienne (resp. hermitienne) ou produit scalaire sur un f.v différentiable réel (resp complexe), E ⟶ M la donnée d’une métrique riemannienne (resp. hermitienne), <, >_{m} dans chaque fibre E_{m} de E et tel que pour toutes sectiones σ, τ ∈ Γ(E), la fonction

\begin{aligned}< σ, τ >: & M & ⟶ & ℝ \\ & m & → & < σ, τ >_{m}=< σ_{m}, τ_{m} >_{m} \end{aligned}

est C^{∞}

Proposition 59 (Existence des produits scalaires) : Tout fibré vectoriel admet un produit scalaire

Preuve. Soit (U_{α}, ϕ_{α}) une famille de trivialisation locales

M = ⊔_{α}U_{α}; ϕ_{α} : ℝ^{r} × U_{α} ⟶^{≃} E_{/U_{α}}

On note <, >_{α}le produit scalaire sur chaque fibre de E_{/U_{α}}obtenu par transport de structure à partir du produit scalaire canonique Σx_{i}y_{i} de ℝ^{r} (resp Σx_{i}\overline{y_{i}} sur ℂ^{r}) grâce à ϕ_{α}. D’un autre coté, soit (ψ_{α}) une partition de l’unité sur M, subordonnée au recouvrement (U_{α}), c’est à dire ψ_{α} : M ⟶ ℝ est différentiable et telle que

Supp(ψ_{α}) ⊂ U_{α} et Σψ_{α} = 1

On a ∑_{α}ψ_{α}. <, >_{α} est une métrique riemannienne (resp. hermitienne)

sur E. C’est à dire

\begin{aligned}<, >: & Γ(E) × Γ(E) & ⟶ & C^{∞}(M) \\ & (σ, τ) & → & < σ, τ > \end{aligned}

avec

\begin{aligned}< σ, τ >: & M & ⟶ & ℝ \\ & m & → & < σ, τ >_{m}= Σ_{α}ψ_{α}(m). < σ_{m}, τ_{m} >_{α} \end{aligned}

4.4 Opérations sur les fibrés vectoriels

Somme de Whitney

Si E_{1} et E_{2} sont des fibrés vectoriels de rang r_{1} et r_{2} respectivement et de même base M, le produit E_{1} × E_{2}_{M} ⟶ M possède une structure

naturelle de fibré vectoriel de rang r_{1} + r_{2}, qu’on appelle somme de Whitney de E_{1} et E_{2} et que l’on note E_{1} ⊕ E_{2}. En tout point m de M on a (E_{1} ⊕ E_{2})_{m} = (E_{1})_{m} ⊕ (E_{2})_{m}

Remarque 60 On a E_{1} × E_{2}_{M} = ⊔_{m∈M}E_{1,m} × E_{2,m} mais E_{1,m} × E_{2,m} est

isomorphe à (E_{1})_{m} ⊕ (E_{2})_{m}, en effet

\begin{aligned}f : & E_{1,m} × E_{2,m} & ⟶ & (E_{1})_{m} ⊕ (E_{2})_{m} \\ & (x, y) & → & x + y \end{aligned}

est un isomorphisme d’e. v, f est clairement surjective. d’autre part, si (x, y) ∈ ker f alors x + y = 0 et donc x = −y ce qui donne que x et y sont dans (E_{1})_{m} ∩ (E_{2})_{m} = {0} et parsuite x = y = 0 donc ker f = {0}. Ainsi, l’on peut dire que E_{1} × E_{2}_{M} = ⊔_{m∈M}E_{1,m} ⊕ E_{2,m} que l’on note par

E_{1} ⊕ E_{2}

Proposition 61 Pour tout f.v E ⟶ M de base compacte M, il existe un f.v.E′ ⟶ M tel que E ⊕ E′ soit trivial

Preuve. Soit E ⟶^{π} M un f.v. de rang r. Si M est compacte alors M = ⊔_{1≤α1≤s}U_{α}. On considère les trivialisations au dessus de chaque U_{α}

ϕ_{α} : ℝ^{r} × U_{α} ⟶ E_{/U_{α}} = π^{−1}(U_{α})

D’autre part, on considère la famille (φ_{α})_{1≤α≤s} une partition différentiable de l’unité subordonnée au recouvrement (U_{α})

φ_{α} : M ⟶ ℝ différentiable

Suppφ_{α} ⊂ U_{α}

∑^{s} ; α=1φ_{α} = 1

On note par Θ^{r}(M) le fibré trivial ℝ^{r} × M ⟶ M de rang r. On définit l’application ψ_{α} : E ⟶ Θ^{r}(M) par ψ_{α} = (φ_{α} ∘ π).ϕ_{α}^{−1}, c’est à dire :

Si X ∈ E_{α}, alors ψ_{α}(X) = \underbrace{(φ_{α} ∘ π)(X)}_{∈ℝ}.\underbrace{ϕ^{−1}(X)}_{∈ℝ^{r}×U_{α}}
Si X ∉ E_{α} alors π(X) ∉ U_{α} et donc φ_{α}(π(X)) = 0, ainsi ψ(X) = 0

On a ψ_{α} est un morphisme de fibrés vectoriels. On considère le fibré trivial Θ^{rs}(M) = \underbrace{Θ^{r}(M) ⊕ ⋯ ⊕ Θ^{r}(M)}_{s fois} et soit l’inclusion canonique de

la i^{ème} copie de Θ^{r}(M)

i_{α} : Θ^{r}(M) ↪ Θ^{rs}(M)

comme ∑ φ_{α} = 1 alors l’application ∑ i_{α}∘[(φ_{α}∘π).ϕ_{α}^{−1}] : E ⟶ Θ^{rs}(M) est un homomorphisme injevtif de fibrés vectoriels. Comme, Θ^{rs}(M) peut être muni d’un produit scalaire, par exemple chaque fibre est munie du produit scalaire canonique de ℝ^{rs}, alors le supplémentaire orthogonale E′ de E dans Θ^{rs} vérifie E ⊕ E′ = Θ^{rs}(M).

5 Foctions De Transition Et Connexion Sur Un Fibré Vectoriel

5.1 Fonctions de transition

Dire que E ⟶^{π} M est un fibré vectoriel de reang r revient à dire que localement E "ressemble" ℝ^{r}, aussi π^{−1}(U) "ressemble" à U × ℝ^{r}. On rappelle qu’une section de E sur M est une application différentiable s : M ⟶ E telle que s(x) ∈ E_{x}. On peut, grâce à ces données, déduire que pour tout x ∈ m il existe une carte U de M autour de x et il existe r sections

\begin{aligned}e_{i} : & U & ⟶ & E \\ & y & → & e_{i}(y) \end{aligned} i = 1 ⋯ r

un champ de bases au dessus de U, c’est à dire {e_{1}(x), ⋯, e_{r}(y)} est une base de E_{y} et telle que la fonction de trivialisation est donnée par :

\begin{aligned}ϕ & U × ℝ^{r} & ⟶ & π^{−1}(U) \\ & (y, a^{1}, ⋯, a^{r}) & → & ∑ a^{i}e_{i}(y) ∈ E_{y} \end{aligned}

on dit que {e_{i}} représente un repère de E au dessus de U. Le couple (U, ϕ^{−1}) est dit une carte du fibré au dessus de U Exemple 62 Soit le fibré tangent T M ⟶^{π} M donné par π(x, X_{x}) = x. C’est un fibré vectoriel de dimension n = dim M. Pour tout x ∈ M il existe une carte U autour de x telle que

\begin{aligned}\frac{∂}{∂x_{i}} : & U & ⟶ & T M \\ & p & → & \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p} ∈ T_{p}M \end{aligned}

avec \{\frac{∂}{∂x_{i}} |_{p}\}_{i=1···n} est une base de T_{p}M et l’application de trivialisation :

\begin{aligned}ϕ & U × ℝ^{n} & ⟶ & π^{−1}(U) \\ & (p, a^{1}, ⋯, a^{r}) & → & ∑ a^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p} ∈ T_{p}M \end{aligned}

est un difféomorphisme. Noter que T M = ⊔_{p∈M}T_{p}M, les fibres sont T_{p}M, p ∈

M et que le C^{∞}(M) - module des sections sur T M n’est autre que χ(M) le C^{∞}(M) - module des champs de vecteurs.

Soit maintenant E ⟶^{π} M un f.v de rang r et soit (U_{α})_{α∈A} un recouvrement ouvert de M, comme les fonctions de trivialisations sont des difféomorphismes alors on peut les voir pour tout α, comme ϕ_{α} : π^{−1}(U_{α}) ⟶ U_{α} × ℝ^{r}. On va considérer deux cartes U_{α} et U_{β} telles que U_{α} ∩ U_{β} ≠ ϕ. Pour un point p ∈ U_{α} ∩ U_{β} , on a deux champs de bases {e_{i}} et {ei^{′}}, i = 1 ⋯ r tels que {e_{i}(p)} et {ei^{′}(p)} sont deux bases de E_{p} = π^{−1}(p) et donc un point X_{p} ∈ E_{p} s’écrit

X_{p} =_{U_{α}} X^{i}e_{i}(p) =_{U_{β}} Y^{j}ej^{′}(p)

L’application linéaire qui échange les composantes sur les deux bases (la matrice de passage), est donnée par

\begin{matrix}(U_{α} ∩ U_{β}) × ℝ^{r} & ⟶^{ϕ_{α}^{−1}} & π^{−1}(U_{α} ∩ U_{β}) & ⟶^{ϕ_{β}} & (U_{α} ∩ U_{β}) × ℝ^{r} \\ (p, X^{1}, ⋯, X^{n}) & → & X_{p} = X^{i}e_{i}(p) & → & (p, Y^{1}, ⋯, Y^{r}) \end{matrix}

où X_{p} s’écrit dans la carte (U_{β}), comme X_{p} = Y^{j}ej^{′}(p). Ainsi ϕ_{β} ∘ ϕ_{α}^{−1}|_{p} échange les bases de E_{α} et E_{β}. On en conclut l’existence d’une application

\begin{aligned}ϕ_{αβ} : & U_{α} ∩ U_{β} & ⟶ & GL(r, ℝ) \\ & p & → & ϕ_{αβ}(p) = ϕ_{β} ∘ ϕ_{α}^{−1}|_{p} \end{aligned}

On a ϕ_{αβ}(p)(X^{1}, ⋯, X^{n}) = (Y^{1}, ⋯, Y^{r}) et donc ϕ_{β} ∘ ϕ_{α}^{−1}(p, X_{p}) = (p, ϕ_{αβ}(p)(X)). L’application ϕ_{αβ} est dite application de transition.

Exemple 63 On considère le fibré vectoriel tangent T M, soient (x, U_{α}) et (y, U_{β}) deux cartes locales qui se croisent (U_{α} ∩ U_{β} ≠ ϕ). On va supposer que (x_{1}, ⋯, x_{n}) et (y_{1}, ⋯, y_{n}) sont les coordonnées locales d’un point p ∈ U_{α} ∩ U_{β}. Pour V_{p} ∈ π^{−1}(p) = T_{p}M on a

V_{p} =_{U_{α}} V^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p} = V^{′j} \frac{∂}{∂y_{j}} |_{p}

Pour exprimer le lien entre les composantes V^{i} et V^{′i}, il est profitable de rappeler que si f : M ⟶ N une application différentiable entre deux variétés, alors pour tout point p ∈ M, l’application tangente en p s’exprime localement par

f_{∗p}(X^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{p}) = X^{i}(\frac{∂f^{j}}{∂x_{i}})(p).\frac{∂}{∂y_{j}} |_{f(p)}

Pour le cas de changement de cartes on a l’application

\begin{matrix}x(U_{α} ∩ U_{β}) & ⟶^{y∘x^{−1}} & y(U_{α} ∩ U_{β}) \\ (x_{i}) & → & (y_{i}) \end{matrix}

et donc V^{′i} = V^{k} \frac{∂y_{i}}{∂x_{k}} . Parsuite

ϕ_{αβ}(p)(V^{1}, ⋯, V^{n}) = (V^{k} \frac{∂y_{1}}{∂x_{k}} , ⋯, V^{k} \frac{∂y_{n}}{∂x_{k}})

et

ϕ_{αβ}(p) = ( \begin{matrix}\frac{∂y_{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂y_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{∂y_{n}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂y_{n}}{∂x_{n}} \end{matrix} )

Exemple 64 On peut de même donner les fonctions de transitions du fibré cotangent T^{∗}M ⟶ M. Soit ω_{p} ∈ T_{p}^{∗}M, on a

ω_{p} =_{U_{α}} ω^{i}dy_{i} =_{U_{β}} ω^{′j}dx_{j}

où (U_{α}, y) et (U_{β}, x) sont deux cartes autour de p. On vérifie facilement

que ϕ_{αβ}(p)(ω^{1}, ⋯, ω^{n}) = (ω^{i} \frac{∂y_{i}}{∂x_{1}} , ⋯, ω^{i} \frac{∂y_{i}}{∂x_{1}} ) et parsuite

ϕ_{αβ}(p) = ( \begin{matrix}\frac{∂y_{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂y_{n}}{∂x_{1}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{∂y_{1}}{∂x_{n}} & ⋯ & \frac{∂y_{n}}{∂x_{n}} \end{matrix} )

Exemple 65 On considère la variété ⊗_{2}^{0}M où M est une variété de dimension n. On a

\begin{matrix}⊗_{2}^{0}M & ⟶^{π} & M \\ (p, t_{p}) & → & p \end{matrix}

est un fibré vectoriel rang n^{2} = 4 donné par ⊗_{2}^{0}M = ⊔_{p∈M} ⊗_{2}^{0} T_{p}M où

⊗_{2}^{0}T_{p}M = {t_{p} : T_{p}M × T_{p}M ⟶ ℝ bilinéaire} est un espace vectoriel de dimension 4. Si (x, U) est une carte autour de p alors {dx_{1}⊗dx_{j}|_{p}}_{1≤i,j≤2} est une base de ⊗_{2}^{0}T_{p}M. L’application de trivialisation est donnée par

\begin{aligned}ϕ_{U} & π^{−1}(U) & ⟶ & U × ℝ^{4} \\ & t_{p} & → & (p, t_{11}, t_{12}, t_{21}, t_{22}) \end{aligned}

où t_{p} = t_{ij}dx^{i} ⊗ dx^{j}|_{p}. Il est utile de rappeler que si f : M ⟶ N est une application différentiable, alors f induit une application différentiable entre les variétés des tenseurs :

\begin{aligned}f^{∗} & ⊗_{2}^{0}N & ⟶ & ⊗_{2}^{0}M \\ & t & → & (f^{∗}t)_{p}(X_{p}, Y_{p}) = t_{f(p)}(f_{∗p}(X_{p}), f_{∗p}(Y_{p})) \end{aligned}

et lorsque (U, x) est une carte autour de p et (V, u) est une carte autour de f(p) alors pour t = t_{ij}du^{i} ⊗ du^{j} on a

f^{∗}t = t_{kl} \frac{∂f^{k}}{∂x_{i}} \frac{∂f^{l}}{∂x_{j}} dx^{i} ⊗ dx^{j}

Ainsi, lorsqu’on a un changement de variables autour de p ∈ U_{α} ∩ U_{β},

on a t =_{U_{α}} t_{ij}dy^{i} ⊗ dy^{j} =_{U_{β}} tij^{′}dx^{i} ⊗ dx^{j} alors

tij^{′} = t_{kl} \frac{∂y^{k}}{∂x_{i}} \frac{∂y^{l}}{∂x_{j}}

et

ϕ_{βα}(p)(t_{11}, t_{12}, t_{21}, t_{22}) = (t_{kl} \frac{∂y^{k}}{∂x_{1}} \frac{∂y^{l}}{∂x_{1}} , t_{kl} \frac{∂y^{k}}{∂x_{1}} \frac{∂y^{l}}{∂x_{2}} , t_{kl} \frac{∂y^{k}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{l}}{∂x_{1}} , t_{kl} \frac{∂y^{k}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{l}}{∂x_{2}} )

Aussi,

ϕ_{βα}(p) = ( \begin{matrix}\frac{∂y1}{∂x_{1}} \frac{∂y^{1}}{∂x_{1}} & \frac{∂y^{1}}{∂x_{1}} \frac{∂y2}{∂x_{1}} & \frac{∂y^{2}}{∂x_{1}} \frac{∂y1}{∂x_{1}} & \frac{∂y^{2}}{∂x_{1}} \frac{∂y2}{∂x_{1}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} & \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} & \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} & \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} \end{matrix} )

Exemple 66 Pour une variété M de dimension 2, on peut donner l’exemple de ∧^{2}M ⟶ M qui est un f.v de rang r = 1, il est facile de vérifier que

\begin{aligned}ϕ_{βα}(p) : & ℝ & ⟶ & ℝ \\ & a & → & a(\frac{∂y^{1}}{∂x_{1}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} − \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{1}} ) \end{aligned}

et parsuite

ϕ_{βα}(p) = (\frac{∂y^{1}}{∂x_{1}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{2}} − \frac{∂y^{1}}{∂x_{2}} \frac{∂y^{2}}{∂x_{1}} )

Exemple 67 On considère la variété M = S^{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} / x^{2} + y^{2} = 1} munie de l’atlas formé de 4 cartes (U_{i}, X_{i})_{1≤i≤4} avec :

\begin{cases}U_{1} = \{(x, y) ∈ S^{1} / x > 0\}; & X_{1}(x, y) = y \\ U_{2} = \{(x, y) ∈ S^{1} / y > 0\}; & X_{2}(x, y) = x \\ U_{3} = \{(x, y) ∈ S^{1} / x < 0\}; & X_{3}(x, y) = y \\ U_{4} = \{(x, y) ∈ S^{1} / y < 0\}; & X_{4}(x, y) = x \end{cases}

le changement de carte entre U_{1} et U_{2} par exemple est donné par :

\begin{aligned}X_{2} ∘ X_{1}^{−1} : & ]0, 1[ & ⟶ & ]0, 1[ \\ & t & → & s = \sqrt{1 − t^{2}} \end{aligned}

et si on regarde la fonction de transition du fibré tangent en un point p ∈ U_{1} ∩ U_{2}, on trouve

\begin{matrix}(U_{1} ∩ U_{2}) × ℝ & ⟶^{ϕ_{1}^{−1}} & π^{−1}(U_{1} ∩ U_{2}) & ⟶^{ϕ_{2}} & (U_{1} ∩ U_{2}) × ℝ \\ (p, α) & → & α\frac{d}{dt}|_{p} ∈ T_{p}S^{1} & → & (p, β) \end{matrix}

où β = α\frac{ds}{dt} = \frac{−αt}{\sqrt{1−t^{2}}} et donc

ϕ_{21}(t)(α) = \frac{−αt}{\sqrt{1 − t^{2}}}

Exemple 68 On cosidère la sphère S^{2} munie de l’atlas de 3 cartes S^{2} =

⊔_{1≤i≤3}U_{i} avec

\begin{cases}U_{1} = \{(x, y, z) ∈ S^{2} / |x| < 1\}; & X_{1}(x, y, z) = (x, y) \\ U_{2} = \{(x, y, z) ∈ S^{2} / |y| < 1\}; & X_{2}(x, y, z) = (x, y) \\ U_{3} = \{(x, y, z) ∈ S^{2} / |z| < 1\}; & X_{1}(x, y, z) = (x, z) \end{cases}

On définit E = {(u, v) ∈ ℝ^{3} × ℝ^{3} / ||u|| = 1 et < u, v >= 0} et π : E ⟶ S^{2} par π(u, v) = u, ainsi E ⟶^{π} S^{2} est un fibré vectoriel de rang r = 2. En effet, π est surjective ; π^{−1}(U) = E_{U} = {(u, v) ∈ ℝ^{3} × ℝ^{3} / < u, v >= 0} n’est autre que l’espace vectoriel orthogonal à u ∈ S^{2}, c’est donc le plan tangent à S^{2} en u qui est un e.v de dimension deux. On va construire les applications de trivialisation associées au recouvrement (U_{i}) de la façon suivante : Soit u = (x, y, z) ∈ S^{2}, on a E_{(x,y,z)} est le plan orthogonal à u. On va construire l”isomorphisme d’e.v. :

\begin{matrix}E_{(x,y,z)} & ⟶^{ϕ_{_{1},(x,y,z)}} & ℝ^{2} \\ (α, β, γ) & → & (a = a(α, β, γ), b = b(α, β, γ)) \end{matrix}

Pour tout vecteur (α, β, γ) ∈ E_{u}, un vecteur de E_{u}, linéairement indépendant avec (α, β, γ) est

v = (x, y, z) ∧ (α, β, γ) = ((βz − γy), −(αz − γx), αy − βx))

ainsi, on prend a et b comme étant les abssices de u et v respectivement

\begin{cases}a = βz − γy \\ b = α \end{cases}

Finalement l’application de trivialisation associée à U_{1} est :

\begin{aligned}ϕ_{1} : & π^{−1}(U_{1}) & ⟶ & U_{1} × ℝ^{2} \\ & (x, y, z; α, β, γ) & → & (x, y, z; βz − γy, α) \end{aligned}

Il n’est facile de trouver l’application inverse de ϕ_{1} :

\begin{aligned}ϕ_{1}^{−1} : & U_{1} × ℝ^{2} & ⟶ & π^{−1}(U_{1}) \\ & (x, y, z; a, b) & → & (x, y, z; b, \frac{az − bxy}{1 − x^{2}} , \frac{−bxz − ay}{1 − x^{2}} ) \end{aligned}

Noter que |x| ≠ 1 pour u ∈ U_{1} et ϕ^{−1} est bien différentiable.

De même

\begin{aligned}ϕ_{2} : & π^{−1}(U_{2}) & ⟶ & U_{2} × ℝ^{2} \\ & (x, y, z; α, β, γ) & → & (x, y, z; γx − αz, β) \end{aligned}

et

\begin{aligned}ϕ_{3} : & π^{−1}(U_{3}) & ⟶ & U_{3} × ℝ^{2} \\ & (x, y, z; α, β, γ) & → & (x, y, z; αy − βx, γ) \end{aligned}

Pour tout (x, y, z) ∈ U_{1} ∩ U_{2} on a ϕ_{21}(x, y, z) : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} donnée par

ϕ_{21}(x, y, z)(a, b) = ϕ_{2}∘ϕ_{1(x,y,z)}^{−1}(a, b) = ϕ_{2}(x, y, z; b, \frac{az − bxy}{1 − x^{2}} , \frac{−bxz − ay}{1 − x^{2}} ) =

ϕ_{21}(x, y, z)(a, b) =  ϕ_{2} ∘ ϕ_{1(x,y,z)}^{−1}(a, b)
= ϕ_{2}(x, y, z; b, \frac{az − bxy}{1 − x^{2}} , \frac{−bxz − ay}{1 − x^{2}} )
=  (\frac{−axy − bz}{1 − x^{2}} , \frac{az − bxy}{1 − x^{2}} )
=  \frac{1}{1 − x^{2}} (\begin{matrix}−xy & −z \\ z & −xy \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})

et donc

ϕ_{21}(x, y, z) = \frac{−1}{y^{2} + z^{2}} (\begin{matrix}−xy & −z \\ z & −xy \end{matrix}) ∈ GL(2)

de même

ϕ_{32}(x, y, z) = \frac{−1}{x^{2} + z^{2}} (\begin{matrix}yz & x \\ −x & yz \end{matrix}) ∈ GL(2)

et

ϕ_{13}(x, y, z) = \frac{−1}{x^{2} + y^{2}} (\begin{matrix}xz & y \\ −y & xz \end{matrix}) ∈ GL(2)

6 Connexions sur les fibrés vectoriels

Soit (E, M, π) un fibré vectoriel, Γ(E) le C^{∞}(M) - module des sections de E sur M.

Définition 69 Une connexion sur le fibré E est une application :

\begin{aligned}∇ : & χ(M) × Γ(E) & ⟶ & Γ(E) \\ & (X, S) & → & ∇_{X}S \end{aligned}

telle que, pour toute fonction f ∈ C^{∞}(M), et pour tous champs X, Y ∈ χ(M) et pour toutes sections S, S_{1} et S_{2} ∈ Γ(E) on a :

1. ∇_{X+Y} S = ∇_{X}S + ∇_{Y} S

2. ∇_{fX}S = f∇_{X}S

3. ∇_{X}(S_{1} + S_{2}) = ∇_{X}S_{1} + ∇_{X}S_{2}

4. ∇_{X}(fS) = X(f)S + f∇_{X}S

Notation 70 Si x ∈ M et u = X_{x} ∈ T_{x}M. On note ∇_{u}S = (∇_{X}S)(x) ∈ E_{x}

Exemple 71 Une connexion sur M est une connexion sur le fibré tangent T M. En effet, Γ(T M) = χ(M) et

∇ : χ(M) × χ(M) ⟶ χ(M)

vérifie les conditions ci-dessus

Exercice 72 (Connexion sur le fibré inverse) : Soit E ⟶^{π} N un fibré vectoriel au dessus de N et ϕ : M ⟶ N une application différentiable. On note par ϕ^{−1}E le fibré vectoriel inverse de E par ϕ, c’est le fibré au dessus de M donné par ϕ^{−1}E = ⊔_{x∈M}E_{ϕ(x)}. Si ^{E}∇ est une connexion sur le fibé E on peut lui associer l’unique connexion ∇ définie sur le fibré inverse ϕ^{−1}(E) telle que pour tout x ∈ M avec ϕ(x) = y ∈ N, pour tout X ∈ T_{x}M et toute section ρ ∈ Γ(E) on a

∇_{X}(ϕ^{∗}ρ) =^{E} ∇_{ϕ_{∗}X}(ρ)

où ϕ^{∗}ρ = ρ ∘ ϕ ∈ Γ(ϕ^{−1}E) et ϕ_{∗} : T_{x}M ⟶ T_{ϕ(x)}N

Solution 73 En effet, il est facile de voir que ∇ vérifie les propriétés d’une connexiion linéaire, il suffit donc de donner l’écriture locale de ∇ montrant ainsi l’existence et l’unicité. Soit U_{y} une carte autour de y. On considère sur U_{y}, le champ de sections ρ_{α}, de E tel que {ρ_{α}(q)} est une base de E_{q} pour tout q ∈ U_{y}. Si U_{x} est une carte autour de x telle que ϕ(U_{x}) ⊂ U_{y} et si V ∈ Γ(ϕ^{−1}E) est une section au dessus de U_{x}, dans le sens que V_{z} ∈ E_{ϕ(z)} pour tout z ∈ U_{x} alors, on a :

V = f^{α}.ϕ^{∗}ρ_{α}, où f^{α} ∈ C^{∞}(U_{x})

Si ∇ vérifie les conditions de la donnée, alors

\begin{aligned}∇_{X}V & = & ∇_{X}(f^{α}.ϕ^{∗}ρ_{α}) \\ & = & X(f^{α})ϕ^{∗}ρ_{α} + f^{α}∇_{X}(ϕ^{∗}ρ_{α}) \\ & = & X(f^{α})ϕ^{∗}ρ_{α} + f^{α}.^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(ρ_{α}) \end{aligned}  (13)

Noter que l’équation (13) s’écrit dans la fibre E_{ϕ(x)}. Cette équation montre l’existence d’une telle connexion sur le fibré inverse. Pour montrer l’unicité, il suffit de montre qte l’équation (13) ne dépend pas du choix de {ρ_{α}}. On va continuer cette demonstration de l’unicité mais pour de raisons de familiarité avec les notations et pour aider le lecteur à bien assimiler la preuve, on va se contenter de donner cette demonstration au cas ou le fibré E = T N et donc ϕ^{−1}(T N) = ⊔_{x∈M}T_{ϕ(x)}N. On peut donc

poser \{\frac{∂}{∂y_{α}} \} un champ de bases de T N au dessus de U_{y}, on a∂z_{ν}

V_{p} = f^{α}.ϕ^{∗}ρ_{α} = f^{α}.\frac{∂}{∂y_{α}} |_{ϕ(p)}, pour tout p ∈ U_{x}

Si \{\frac{∂}{∂z_{β}} \} est un autre champ de bases au dessus de U_{y}, on a alors

V_{p} = g^{β}.\frac{∂}{∂z_{β}} |_{ϕ(p)}

L’application de transition entre {y_{α}} et {z_{β}} donne que

\{ \begin{matrix}g^{β} & = & f^{α}.\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}} \\ \frac{∂}{∂z_{β}} & = & \frac{∂y_{α}}{∂z_{β}} .\frac{∂}{∂y_{α}} \end{matrix}  (14)

On a

\begin{aligned}V & =_{U_{y}}^{(1)} & X(f^{α}).\frac{∂}{∂y_{α}} |_{ϕ(x)} + f^{α}(x).^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(\frac{∂}{∂y_{α}}) \\ & =_{U_{z}}^{(2)} & X(g^{β}).\frac{∂}{∂z_{β}} |_{ϕ(x)} + g^{β}(x).^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(\frac{∂}{∂z_{β}}) \end{aligned}

En partant de l’équation (2) et en utilisant (14) on obtient :

V = X(f^{α}.\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}}).\frac{∂}{∂z_{β}} |_{ϕ(x)} + f^{α}.\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}} .^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(\frac{∂y_{α}}{∂z_{β}} .\frac{∂}{∂y_{α}})
= X(f^{α}).\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}} .\frac{∂}{∂z_{β}} |_{ϕ(x)} + f^{α}.\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}} .\frac{∂y_{α}}{∂z_{β}}^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(\frac{∂}{∂y_{α}})
= X(f^{α}).\frac{∂}{∂y_{α}} |_{ϕ(x)} + f^{α}(x).^{E}∇_{ϕ_{∗}X}(\frac{∂}{∂y_{α}})

car X(\frac{∂z_{β}}{∂y_{α}}) = 0. D’où lindépendance de cette connexion relativement au

changement de cartes.

Remarque 74 Lorsque la section V de ϕ^{−1}E sur M n’est pas de la forme ϕ^{∗}ρ où ρ ∈ Γ(E) et E = T N, alors la connexion ∇ sur le fibré inverse est donnée par

∇_{X}V = \frac{d}{dt}|_{t=0}[(^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}V (σ(t))]

avec :

1. ∇ : χ(M) × Γ(ϕ^{−1}T N) ⟶ Γ(ϕ^{−1}T N) et donc ∇_{X}V ∈ Γ(ϕ^{−1}T N)

c’est à dire\begin{aligned}∇_{X}V : & M & ⟶ & T N \\ & x & → & (∇_{X}V)_{x} ∈ T_{ϕ(x)}N \end{aligned}

2. t ⟶ σ(t) est la courbe intégrale de X_{x} ∈ T_{x}M

3. ^{N}P_{ϕ∘σ_{t}} : T_{ϕ(x)}N ⟶ T_{ϕ(σ(t))}N est le transport parallèle entre ϕ(σ(0)) = ϕ(x) et ϕ(σ(t)) relativement à la connexion ^{E}∇

Preuve. En effet, on peut vérifier qu’il s’agit d’une connexion sur le fibré inverse, c’est surtout la propriété 4 qui demande une démonstration

∇_{X}(fV)|_{x} =^{?} X(f)V |_{x} + f∇_{X}V |_{x} dans T_{ϕ(x)}N

On rappelle que si X ∈ χ(M), x ∈ M, f ∈ C^{∞}(M) alors X_{x}(f) ∈ ℝ est donnée par

X_{x}(f) = \frac{d}{dt}|_{t=0}(f ∘ σ(t))

où σ est une courbe intégrale de X_{x}. On a

\begin{aligned}∇_{X}(fV)|_{x} & = & \frac{d}{dt}|_{t=0}\{(^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}[f(σ(t).V (σ(t))]\} \\ & = & \frac{d}{dt}|_{t=0}\{f(σ(t).(^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}[V (σ(t))]\} \end{aligned}

où on a utilisé la linéarité de ^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}. Il en vient :

\begin{aligned}∇_{X}(fV)|_{x} & = & (\frac{d}{dt}|_{t=0}[f(σ(t)]).(^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}(V (σ(t)))_{t=0} \\ & + & f(σ(t)_{t=0}.\frac{d}{dt}|_{t=0}[(^{N}P_{ϕ∘σ_{t}})^{−1}V (σ(t)] \end{aligned}

Donc

\begin{aligned}∇_{X}(fV)|_{x} & = & X_{x}f.V (σ(0)) + f(σ(0)).∇_{X}(V)|_{x} \\ & = & X_{x}f.V (x) + f(x).∇_{X}(V)|_{x} \end{aligned}

D’où le résultat.

On rappelle que si ∇ est une connexion sur M alors pour tout X ∈ χ(M), on définit le tenseur contravariant

∇_{X} : ∧^{1}M ⟶ ∧^{1}M  (15)

par (∇_{X}ω)(Y) = Xω(Y) − ω(∇_{X}Y). Dans l’exemple qui suit, on va placer cette définition dans le cadre naturel de la théorie de connexions sur les fibrés vectoriels.

Application : Connexion sur le fibré dual

Soit E ⟶^{π} M un fibré vectoriel et soit ∇ une connexion sur E. On rappelle que le fibré dual de E est E^{∗} ⟶^{π} M où E^{∗} = ⊔_{x∈M}E_{x}^{∗}. La

connexion ∇ sur E induit une connexion notée ∇^{∗} sur E^{∗} construite de la façon suivante :

∇^{∗} : χ(M) × Γ(E^{∗}) ⟶ Γ(E^{∗})  (16)

pour tout X ∈ χ(M) et tout ω ∈ Γ(E^{∗}). On a Γ(E^{∗}) = {ω : M ⟶ E telle que ω_{x} ∈ E_{x}^{∗}} s’identifie au C^{∞}(M) module

{α : Γ(E) ⟶ C^{∞}(M)}

comme suit, si ω ∈ Γ(E^{∗}), alors on prend α(S)(x) = ω_{x}(S(x)). Ainsi une section de E^{∗} sur M peut être vue comme une application C^{∞}(M)- linéaire de Γ(E) dans C^{∞}(M). Dans ces condition ∇^{∗} sera donnée par

(∇_{X}^{∗}ω)(σ) = Xω(σ) − ω(∇_{X}σ)

pour tout σ ∈ Γ(E). Ainsi, l’équation (15) n’est autre que la connexion ∇^{∗} sur le fibré dual T^{∗}M du fibré T M associée à la connexion ∇ de T M.

Exercice 75 Soient V et W deux fibrés vectoriels au dessus d’une même variété M. On note par ^{V} ∇ et ^{W} ∇ les connexionx sur V et W respectivement

1. Montrer que

∇_{X}(σ ⊕ λ) :=^{V} ∇_{X}σ ⊕^{W} ∇_{X}λ

définit une connexion sur le fibré V ⊕ W

2. Montrer que

∇_{X}(σ ⊗ λ) := (^{V} ∇_{X}σ) ⊗ λ + σ ⊗ (^{W} ∇_{X}λ)

définit une connexion sur le fibré V ⊗ W

3. Donner l’écriture locale de chacune d’elle.

Proposition 76 Soit ϕ : M ⟶ N un difféomorphisme et ϕ^{−1}T N le fibré réciproque de E = T N de base M, on note par ∇ la connexion sur ϕ^{−1}T N associée à la connexion ^{E}∇ de E. On suppose que ^{E}T = 0, alors

∇_{X}ϕ_{∗}Y − ∇_{Y} ϕ_{∗}X = ϕ_{∗}[X, Y]

pour tous X, Y ∈ χ(M), où on a noté ϕ_{∗}X = ϕ_{∗} ∘ X ∈ Γ(ϕ^{−1}T N) Preuve. Soient (x, U) et (y, V) deux systèmes de coordonnées locales autour de p et ϕ(p) respectivement. On a

\begin{cases}X & = & X^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} \\ Y & = & Y^{j} \frac{∂}{∂x_{j}} \end{cases}

et donc

\begin{cases}ϕ_{∗}X & = & X^{i}ϕ_{i}^{α} \frac{∂}{∂y_{α}} \\ ϕ_{∗}Y & = & Y^{j}ϕ_{j}^{β} \frac{∂}{∂y_{β}} \end{cases}

où on a noté ϕ_{i}^{α} = \frac{∂ϕ^{α}}{∂x_{i}} .

∇_{X}ϕ_{∗}Y − ∇_{Y} ϕ_{∗}X =  ∇_{X}[Y^{i}ϕ_{i}^{α} \frac{∂}{∂y_{α}}] − ∇_{Y} [X^{j}ϕ_{j}^{α} \frac{∂}{∂y_{α}}]
= [X^{j}.Y_{j}^{i} − Y^{j}.X_{j}^{i}]ϕ_{i}^{α} \frac{∂}{∂y_{α}} + X^{j}Y^{i}[ϕ_{ji}^{α} − ϕ_{ij}^{α}]\frac{∂}{∂y_{α}}
+  X^{j}ϕ_{j}^{β}Y^{i}ϕ_{i}^{α}[^{E}∇_{∂y_{β}}∂y_{α} −^{E} ∇_{∂y_{α}}∂y_{β}]

Comme la torsion de ^{E}∇ est nulle, on en déduit que ∇_{X}ϕ_{∗}Y −∇_{Y} ϕ_{∗}X = ϕ_{∗}[X, Y]

Définition 77 Soit ∇ une connexion linéaire sur un fibré vectoriel E ⟶^{π} M. On définit la courbure de ∇ comme étant un tenseur :

R : χ(M) × χ(M) × Γ(E) ⟶ Γ(E)

donné par : R(X, Y)S = ∇_{X}(∇_{Y} S) − ∇_{Y} (∇_{X}S) − ∇_{[X,Y]}(S)

On peut facilement vérifier que R est C^{∞}(M) multilinéaire et que R(X, Y) = −R(Y, X)

Exercice 78 1. Donner l’écriture locale d’une courbure R associée à une connexion ∇ d’un fibré vectoriel 2. Si ∇^{∗} est la connexion sur le fibré dual E^{∗} associée à la connexion

∇ de E alors

R^{∗}(X, Y)θ(σ) = −θ(R(X, Y)σ)

avec X, Y ∈ χ(M), σ ∈ Γ(E) et θ ∈ Γ(E^{∗})

3. Si ∇ =^{V} ∇ ⊕^{W} ∇ est la connexion sur le fibré de Whiney V ⊕ W

alors

R(X, Y)(σ ⊕ λ) =^{V} R(X, Y)σ ⊕^{W} R(X, Y)λ

4. Si ∇(σ ⊗ λ) = (^{V} ∇σ) ⊗ λ + σ ⊗ (^{W} ∇λ) alors

(R(X, Y)σ ⊗ λ = (^{V} R(X, Y)σ) ⊗ λ + σ ⊗ (^{W} R(X, Y)λ)

5. Si ∇ est la connexion du fibré inverse ϕ^{−1}E alors

R_{x}(X, Y)ρ(x) =^{W} R_{ϕ(x)}(ϕ_{∗}X, ϕ_{∗}Y)ρ(x)

7 Métrique sur les fibrés vectoriels

Définition 79 On dit qu’un fibré vectoriel admet un produit scalaire h si chaque fibre E_{x} admet un produit scalaire :

h_{x}: E_{x} × E_{x} ⟶ ℝ

telle que l’application x ⟶ h_{x} est C^{∞}. Ainsi, pour toutes sections s_{1}, s_{2} ∈ Γ(E) la fonction h(s_{1}, s_{2}) sur M définie par :

h(s_{1}, s_{2})(x) = h_{x}(s_{1}(x), s_{2}(x))  (17)
est de classe C^{∞}.

Définition 80 Une définition équivalente à la première définition est qu’une métrique sur un fibré vectoriel est une application

h : Γ(E) × Γ(E) ⟶ C^{∞}(M)

bilinéaire, symétrique et définie positive. L’identification est donnée par l’équation (17)

Définition 81 On dit que la connexion ∇ d’un fibré vectoriel E est compatible avec le produit scalaire h de E si pour tout X ∈ χ(M), s_{1}, s_{2} ∈ Γ(E) on a :

Xh(s_{1}, s_{2}) = h( ∇_{X}s_{1}, s_{2}) + h( s_{1}, ∇_{X}s_{2}).

Exemple 82 Pour une variété Riemannienne (M, g) la métrique g est une métrique sur le fibré tangent. On a Γ(T M) = χ(M) et la connexion associée à g est une connexion compatible avec g.

Exemple 83 Dans cet exemple, on va étudier le fibré inverse E = ϕ^{−1}(T N) où ϕ : M ⟶ N est une application différentiable. On suppose que (M, g) et (N, h) sont deux variétés Riemanniennes de dimensions respectives m et n. Soit ϕ ∈ C^{∞}(M, N),on rappelle la définition de la connexion induite ˜∇ sur le fibré induit E = ϕ^{−1}(T N) = ∪_{x∈M}T_{ϕ(x)}N :

( ˜∇_{X}V)(x) := \frac{d}{dt} |_{t=0}^{N} P_{ϕ∘σ(t)}^{−1}V (σ(t))

avec X ∈ χ(M), V ∈ Γ(ϕ^{−1}(T N)) , x ∈ M et t → σ(t) ∈ M est une C ^{1}-courbe sur M telle que σ(0) = x et σ′(0) = X_{x} ∈ T_{x}M, et σ_{t} est une "portion" de σ , c’est la courbe donnée par σ_{t}(s) := σ (s), tel que 0 ≤ s ≤ t, c’est à dire la restriction de σ sur la partie entre x et σ(t) . et

NP_{ϕ∘σ(t)}^{−1} : T_{ϕ(x)}N ⟶ T_{ϕ(σ(t))}N

est le transport parallèle le long de la courbe ϕ ∘ σ(t) de N relativement à la connexion de Levi-Civita ^{N}∇ sur (N, h). L’opérateur ˜∇ est une connexion sur E = ϕ^{−1}T N, et ce dernier admet un produit scalaire associé à la métrique Riemannienne h sur N , notée aussi par h et donnée point par point par :

h_{ϕ(x)} : T_{ϕ(x)}N × T_{ϕ(x)}N ⟶ ℝ

c’est à dire pour tous V_{1}, V_{2} ∈ T_{ϕ(x)}N on a :

h(V_{1}, V_{2})(x) = h_{ϕ(x)}(V_{1}(x), V_{2}(x)) = ⟨V_{1}(x), V_{2}(x)⟩_{T_{ϕ(x)}N}

On propose de montrer que cette métrique est compatible avec la connexion ˜∇

En effet, soient V_{1}, V_{2} ∈ Γ(ϕ^{−1}T N), X ∈ χ(M),et x ∈ M. On a

\begin{aligned}X_{x}h(V_{1}, V_{2}) & = & \frac{d}{dt}|_{t=0}h_{ϕ(σ(t))}(V_{1}(σ(t)), V_{2}(σ(t))) \\ & = & \frac{d}{dt}|_{t=0}h_{ϕ(σ(t))}(^{N}P_{ϕ∘σ(t)}^{−1}V_{1}(σ(t)), ^{N}P_{ϕ∘σ(t)}^{−1}V_{2}(σ(t))) \end{aligned}

Car ^{N}P conserve le produit scalaire, comme ^{N}∇ est compatible avec h. Ainsi :

X_{x}h(V_{1}, V_{2}) = h_{ϕ(x)}(\frac{d}{dt}|_{t=0}^{N}P_{ϕ∘σ(t)}^{−1}V_{1}(σ(t)), V_{2}(x))+
h_{ϕ(x)}(V_{1}(x),\frac{d}{dt}|_{t=0}^{N}P_{ϕ∘σ(t)}^{−1}V_{2}(σ(t)))
= h_{ϕ(x)}( ˜∇_{X_{x}}V_{1}, V_{2}) + h_{ϕ(x)}(V_{1}, ˜∇_{X_{x}}V_{2}).

7.1 Application musicale :

Dans ce paraghraphe et dans le but de créer un opérateur sur χ(M) qui sera équivalent au Laplacien défini sur Λ^{1}M, on va introduire le dictionnaire musical entre T M et T^{∗}M.

Définition 84 En tout point x d’une variété riemannienne (M, g), on définit la fonction musicale ♭_{x} par :

\begin{aligned}♭_{x} & : & T_{x}M & ⟶ & T_{x}^{∗}M \\ & & X & → & ♭_{x}X \end{aligned}

telle que ♭_{x}(X)(Y) = g_{x}(X, Y) = ⟨X, Y ⟩. L’application ♭ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Il est claire que l’écriture locale de ♭_{x} est

♭_{x} = g_{ij}dx^{i} ⊗ dx^{j}

ainsi, pour tout X = X^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} on a ♭(X) = ω, avec ω(Y) = g(X, Y) = g_{ij}X^{i}Y^{j} et donc ω = g_{ij}X^{i}dx^{j}. Son inverse est donnée par :

\begin{aligned}♯ & : & T_{x}^{∗}M & ⟶ & T_{x}M \\ & & ω = ω_{i}dx^{i} & → & ♯(ω) = ♯_{ω} = X \end{aligned}

qui s’écrit localement par :

♯_{x} = ♭_{x}^{−1} = g^{ij} \frac{∂}{∂x^{i}} ⊗ \frac{∂}{∂x^{j}}

et donc

♯(ω) = ♯_{ω} = X = g^{ij}ω_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} .

Définition 85 Soit T^{∗}M ⟶^{π} M le fibré dual du fibré T M ⟶^{π} M. On définit la métrique h^{∗} sur le fibré T^{∗}M associée à la métrique h sur le fibré T M par :

< ω, σ >_{∗}=< ♯ω, ♯σ >

On en déduit que localement si ω = ω_{i}dx^{i} et σ = σ_{j}dx^{j} alors

< ω, σ >_{∗}= g^{ik}ω_{i}σ_{k}

Exemple 86 On considère ℝ^{2} muni de la métrique

g = (1 + x^{2})dx ⊗ dx + dy ⊗ dy

on a alors

g = (\begin{matrix}1 + x^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) et g^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{1 + x^{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Soit ω = xd − xy^{2}dy et σ = x^{2}dx deux éléments de T^{∗}M.

\begin{cases}♯ω & = & ( \begin{matrix}\frac{1}{\underline{1+x^{2}}} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ −xy^{2} \end{matrix}) = & \frac{x}{1 + x^{2}} ∂x − xy^{2}∂y \\ ♯σ & = & ( \begin{matrix}\frac{1}{\underline{1+x^{2}}} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x^{2} \\ 0 \end{matrix}) = & \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} ∂x \end{cases}

de sorte que < ω, σ >_{∗}=< ♯ω, ♯σ >= \frac{x^{3}}{1 + x^{2}}

Proposition 87 La métrique h^{∗} sur T^{∗}M est compatible avec la connexion ∇^{∗} définie dans l’équation (16) Preuve. Soient X ∈ χ(M), ω et σ ∈ Γ(T^{∗}M) = ∧^{1}M. On a

X < ω.σ >_{∗}= X < ♯ω, ♯σ >

Comme la connexion ∇ de T M est compatible avec la métrique <, > de T M alors :

X < ♯ω, ♯σ >=< ∇_{X}♯ω, ♯σ > + < ♯ω, ∇_{X}♯σ >

Or on peut vérifier sans difficulté que

∇_{X}^{∗}ω = ♭(∇_{X}♯ω)

donc

∇_{X}♯ω = ♯(∇_{X}^{∗}ω)

Il en vient que

\begin{aligned}X < ♯ω, ♯σ > & = & < ♯(∇_{X}^{∗}ω), ♯σ > + < ♯ω, ♯(∇_{X}^{∗}σ) > \\ & = & < ∇_{X}^{∗}ω, σ >_{∗} + < ω, ∇_{X}^{∗}σ >_{∗} \end{aligned}

et parsuite ∇^{∗} est compatible avec h^{∗}.

A The First Appendix

The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the Section Section/Body Tag.

Following is a short bibliography. It has no relationship to the previous text, but can be used to show sample citations such as [4] and [6]. This typesetting style places each citation inside square brackets. If you want multiple citations to appear in a single set of square brackets you must type all of the citation keys inside a single citation, separating each with a comma. Here is an example : [2, 3, 4].

References

[1] American Petroleum Institute, Technical Data Book - Petroleum Refining, 5th edition, 1992

[2] Harstad, K. and Bellan, J., “Isolated fluid oxygen drop behavior in fluid hydrogen at rocket chamber pressures”, Int. J. Heat Mass Transfer, 1998a, 41, 3537-3550

[3] Harstad, K. and Bellan, J., “The Lewis number under supercritical conditions”, Int. J. Heat Mass Transfer, in print

[4] Hirshfelder, J. O., Curtis, C. F. and Bird, R. B., Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, Inc., 1964

[5] Prausnitz, J., Lichtenthaler, R. and de Azevedo, E., Molecular thermodynamics for fluid-phase equilibrium, Prentice -Hall, Inc., 1986

[6] Reid, R. C., Prausnitz, J. M. and Polling, B. E., The Properties of Gases and Liquids, 4th Edition, McGraw-Hill Book Company, 1987